fisica

Guía 2

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
Este tipo de movimiento se da cuando la aceleración permanece constante.
𝑎 = 𝑎̅ = ±𝑎0

La aceleración media y la aceleración instantáneas son iguales a la misma constante ±𝑎0

El signo± quiere decir que la velocidad puede aumentar o disminuir.
Velocidad en el MRUA
𝑣 −𝑣0
Recordamos que la aceleración está relacionada al cambio develocidad. De la definición de aceleración media:𝑎 = 𝑎̅ = ±𝑎0 = 𝑓
Repitiendo los pasos del MRU para x, tenemos que la ecuación que nos da la velocidad final es: 𝑣𝑓 = 𝑣0 ±𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 )

𝑡𝑓 −𝑡0

Nuevamente esta es la ecuación de una recta con pendiente ±𝑎0 y que corta el eje de la velocidad en 𝑣0
Gráficas de v-t y a-t para un MRUA con +𝒂𝟎
En los dibujos se han eliminado los
subíndices f de la velocidadfinal y el tiempo
final.

IMPORTANTE: podemos calcular la velocidad media a partir de un gráfico v-t.
En este gráfico, podemos ver que el triángulo 1 y el 3 son iguales. El área sombreada
entonces, corresponde al área del rectángulo que se forma con 2, 3, 4 y 5.
Sabemos que la velocidad media, debe estar en la mitad de esta rectángulo, que
también es el punto medio entre 𝑣 y 𝑣0
Este punto mediocorresponde a la semisuma de las velocidades inicial y final:
1

Para este dibujo tenemos que

𝑣̅ = (𝑣 + 𝑣0 )
2
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 )

Y reemplazando eso en la ecuación anterior
Luego

1

1

2

2

𝑣̅ = (𝑣0 + 𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 ) + 𝑣0 ) = (2𝑣0 + 𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 ))

1

𝑣̅ = 𝑣0 + 𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 )
2

Recordamos que como la aceleración puede ser negativa también, entonces:
Posición en el MRUA
Por la definición develocidad media, tenemos

𝑣̅ =

1

𝑣̅ = 𝑣0 ± 𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 )
2

𝑥𝑓 −𝑥0
𝑡𝑓 −𝑡0

Igualando esta expresión a la que encontramos para la velocidad media tenemos:
𝑥𝑓 − 𝑥0
1
= 𝑣0 + 𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 )
𝑡𝑓 − 𝑡0
2
De esta ecuación pasamos 𝑡𝑓 − 𝑡0 a multiplicar:
1
1
𝑥𝑓 − 𝑥0 = (𝑡𝑓 − 𝑡0 ) [𝑣0 + 𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 )] = 𝑣0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 ) + 𝑎0 (𝑡𝑓 − 𝑡0 )2
2
2
Como ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡0 , podemos escribir

1
𝑥𝑓 − 𝑥0 = 𝑣0 ∆𝑡 + 𝑎0 ∆𝑡 2
2

Ypasando 𝑥0 a sumar

1
𝑥𝑓 = 𝑥0 + 𝑣0 ∆𝑡 + 𝑎0 ∆𝑡 2
2
La ecuación anterior es una ecuación de una parábola. Esta ecuación la obtuvimos para una aceleración positiva y una velocidad
inicial positiva. Para recordar que tanto la aceleración como la velocidad inicial pueden tomar valores negativos, escribimos:
1
𝑥𝑓 = 𝑥0 ± 𝑣0 ∆𝑡 ± 𝑎0 ∆𝑡 2
2
Gráfico de x-t para MRUA con +𝒂𝟎

Una ecuación adicional
1
Tomamos 𝑥𝑓 =𝑥0 + 𝑣0 ∆𝑡 + 𝑎0 ∆𝑡 2 y 𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑎0 ∆𝑡.
2

Eliminamos ∆𝑡 de estas ecuaciones así:

∆𝑡 =

𝑣𝑓 −𝑣0
𝑎0

Entonces, reemplazamos en la primera ecuación:
𝑣𝑓−𝑣0
𝑣𝑓−𝑣0 2
1
) + 𝑎0 (
)
𝑎0
2
𝑎0

Pasamos 𝑥0 a restar:

𝑥𝑓 − 𝑥0 = 𝑣0 (

Eliminamos un 𝑎0 :

𝑣𝑓 −𝑣0
1 (𝑣𝑓 −𝑣0 )
𝑥𝑓 − 𝑥0 = 𝑣0 ( 𝑎 ) + 2
𝑎0
0

Factorizamos el 𝑎0 y lo pasamos a multiplicar:

1

2

1

𝑎0 (𝑥𝑓 − 𝑥0 ) = 𝑣0 (𝑣𝑓 − 𝑣0 ) + 2 (𝑣𝑓 − 𝑣0 )

2

1

1

𝑎0(𝑥𝑓 − 𝑥0 ) = 𝑣0 𝑣𝑓 − 𝑣0 2 + 2 𝑣𝑓 2 − 𝑣0 𝑣𝑓 + 2 𝑣0 2

Resolvemos el cuadrado perfecto y la multiplicación:
Resolvemos las restas:

𝑣𝑓−𝑣0
𝑣𝑓−𝑣0 2
1
) + 𝑎0 (
)
𝑎0
2
𝑎0

𝑥𝑓 = 𝑥0 + 𝑣0 (

1

𝑎0 (𝑥𝑓 − 𝑥0 ) = 2 𝑣𝑓 2 − 2 𝑣0 2

Factorizando el 2:

2𝑎0 (𝑥𝑓 − 𝑥0 ) = 𝑣𝑓 2 − 𝑣0 2

¿Cómo medir el desplazamiento en una gráfica de v-t?
En la gráfica anterior, vemos que el área del rectángulo sombreado es 𝐴 = 𝑣 ×∆𝑡.
𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒

Si ∆𝑡 →
0, este rectángulo se hace más delgado, y vemos que la parte que no
está sombreada del área bajo la curva, se vuelve casi nula. Por tanto, podemos
decir que el área bajo la curva queda casi completamente sombreada (el punto n
coincide con n’).
Por la definición de velocidad media: 𝑣 =

∆𝑥 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
∆𝑡

⇒

𝑣 × ∆𝑡 = ∆𝑥

Por lo tanto, el área de este rectángulo coincide con eldesplazamiento que tuvo el
𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒

objeto cuando ∆𝑡 →
0, es decir 𝐴 = ∆𝑥.
Sumando el área todos los pequeños rectángulos bajo la curva que podemos
encontrar el desplazamiento total del objeto.
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑎𝑧𝑢𝑙 = ∆𝑥

(Cambio de posición entre 𝑡𝑖 y 𝑡𝑓 )

Si hay un área por encima del eje de t, se dice que es un área positiva, y el
desplazamiento es positivo (+∆𝑥1 ). Si hay un área por debajo del eje de...