Fisico m



ÁLGEBRA DE MATRICES

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REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente

■ Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes y opina quién crees que de­bería ser presidente.


A
B
C
D
E
F
A
1 1
-1
-1
-1
-1
-1
B
-1
0
1
0
-1
0
C
0
1
1
1
0
0
D
-1
0
1
0
-1
0
E
-1
1
11
-1
0
F
-1
0
0
0
-1
0
De la tabla podemos deducir muchas cosas:
• Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
• B solo tiene un candidato (el C).
• Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).
• El consejero F no opta por ninguno de sus compañeros.
• Al candidato E no le prefiere ninguno de los otros consejeros. De hecho, esel úni­co que no se considera idóneo para el cargo.
• Los candidatos B y D han obtenido los mismos resultados.
• Solo A y C se consideran idóneos para el puesto de presidente.

Según los resultados, el candidato C es el más idóneo para presidir la empresa (por lo menos eso piensan sus compañeros del consejo).
Vuelos internacionales

■ Aquí tienes representados, mediante flechas, los vuelosque hay el martes des­de el país B hasta el país C. Representa, mediante una tabla, la información recogida en el diagrama.



c2 1

3
2
b2
1
0
B3
1
0
B4
0
2

Conexiones de vuelos

■ Supón que una persona quiere salir el lunes de A, pasar la noche en B y lle­gar el martes a C.
¿Cuántas posibles combinaciones tiene por cada punto de salida y cada punto de llegada? Es decir, ¿decuántas formas puede ir de A1 a C1, de A1 a C2, de A2 a C1, etc.?
Continúa tú, rellenando razonadamente el resto de la tabla y explicando, en cada caso, cómo llegas a la respuesta.



C21

5
2
A2
2
2
A3
0
2
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1. Escribe las matrices traspuestas de:
2
4



E =
7 0


17
7-1
40





4
0
3

C =
5-1
41
03


F = (5 4 6 1)


A'

B'
(2 4\ 5 1 7 0F
5
4 6 1

2. Escribe una matriz X tal que X* = X; esto es, que sea simétrica.


1
2
-1
Por ejemplo, X =
2
3
0

-1
0
4


3. Escribe una matriz que describa lo siguiente:


21000 01020 00110 00000 00012 00010
1. Sean las matrices:


Í2 0-4W-3 0 3 +í71 2 10j/l8 -1 -18]
^8 2 -6j (-12 3 9/ \8 -10 0) (12 4 8 j (16 -15 -23]

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2.Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:
70
-1 1
-2 5 1

-1 5
3 1
2
-3


a • c = ( 8 -2 4 5 1= 24 -4 -1 -10


22 28
39 3 ; d • C =
-9 -4


718-4 0305


-6 -1 265 28 38 -1 10


3. Intenta conseguir una matriz I3 de dimensión 3 x 3 que, multiplicada por cualquier matriz cuadrada A (3 x 3), la deje igual.
Es decir: A • J3 = A = A
Lamatriz I3 que verifica la igualdad anterior se llama matriz unidad de orden 3.
Una vez que sepas cuál es su fisonomía, sabrás obtener la matriz unidad de cualquier orden.
100
01 00
1. Comprueba las propiedades 2 y 3 del producto de números por matrices, to­mando:
a = 3, b = 6

A =
3 5-1 2-3 0

B =
7-2 1 4 6 8
PROPIEDAD 2
¡27 45 -9

Í9 15-3W18 30 -6\ = ¡27 45 -9 \6-9 0 ) (12 -180 j \ 18 -27 0 j


¡10 3 0\ = i
638
(9 15 -3) + (21-6 3 ) = ( (6-9^ \12 18 24) \



30 9 0 18924

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2. Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices:

A=
14
05 16

B=
-1 5 6 7
3 0 9 -2

C =
41 60 0-1 5 5

D =
1
2
-5
3
B • D + C • D ■ I 0 1 + H4
-48 -12 (B + C) • D ■ B • D + C • D
1. Calcula, utilizando el método de Gauss, lainversa de cada una de las siguien­tes matrices o averigua que no la tiene:
a)
11 01
b)
12
34
c)

-2 -4

(



b)
Así,

1
3
(111-1 ■ (1-1
(01) [0 1


10 -3 1 (1.a) + (2.a) (2.a)
Así,
12-1 ■ -2 1
\3/2 -1/2 J
En la parte de la izquierda, la 2.a fila está compuesta de ceros. Por tanto, la matriz
12
-2 -4
no tiene inversa.

2. Calcula la inversa de cada una de...