Fisico

La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las definiciones más básicas. Para una rápida búsqueda de un término orden teórico, hay también un glosario de teoría del orden. Una lista de asuntos sobre orden recogelos artículos que existen en relación a esta teoría del orden.
Contenido  [ocultar]  * 1 Trasfondo y motivación * 2 Introducción a las definiciones básicas * 2.1 Conjuntos parcialmente ordenados * 2.2 Visualizando órdenes * 2.3 Elementos especiales dentro de un orden * 2.4 Dualidad * 2.5 Construcción nuevos órdenes * 3 Funciones entre órdenes * 4 Tiposespeciales de orden * 5 Subconjuntos de conjuntos ordenados * 6 Áreas matemáticas relacionadas * 6.1 Álgebra universal * 6.2 Topología * 6.3 Teoría de categorías * 7 Esquema de temas relacionados * 8 Referencias |
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[editar]Trasfondo y motivación
El orden aparece por todas partes - por lo menos, si se trata de matemática y áreasrelacionadas tales como la informática. El primer orden que uno típicamente encuentra en la educación matemática de la escuela primaria es el orden ≤ de los números naturales. Este concepto intuitivo es fácilmente extendido a otros conjuntos de números, tal como los enteros y reales. De hecho la idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas de numeraciónen general (que uno generalmente se interesa también en la diferencia real de dos números, que no viene dada por el orden). Otro ejemplo popular de un orden es el orden lexicográfico de las palabras en un diccionario.
Los tipos antedichos de orden tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento, es decir es o mayor, o menor, o igual. Sin embargo, esto nosiempre es un requisito deseable. Un ejemplo bien conocido es el orden de los subconjuntos de un conjunto. Si un conjunto contiene los elementos de cierto otro conjunto, entonces se puede decir que es mayor o igual. Con todo, hay conjuntos que pueden no ser comparables de este modo, puesto que cada uno puede contener algún elemento que no esté presente en el otro. Por lo tanto, inclusión desubconjuntos es un orden parcial, en comparación con los órdenes totales dados antes.
Alentadas por los amplios usos prácticos de los órdenes, se pueden definir numerosas clases especiales de conjuntos ordenados, algunas de las cuales han llegado a ser campos matemáticos por sí mismos. Además, la teoría del orden no se restringe a las varias clases de relaciones de orden, sino que tambiénconsidera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad orden teórica viene del análisis donde encontramos con frecuencia a las funciones monótonas.
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[editar]Introducción a las definiciones básicas
Esta sección tiene como objetivo dar una primera guía al reino de los conjuntos ordenados. Está dirigida al lector que tiene un conocimientobásico teoría de conjuntos y aritmética y que sabe qué es una relación binaria, pero que no está familiarizado, hasta ahora, con consideraciones teóricas sobre orden.
[editar]Conjuntos parcialmente ordenados
Como ya se hizo alusión arriba, un orden es una relación binaria especial. Por lo tanto consideremos algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial sies reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:
a ≤ a (reflexividad)
si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)
si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría).
Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset (del inglés partially ordered set). El término conjunto ordenado a veces también se utiliza para...