Fisico

Problemas y ejercicios de Mec´ nica II
a
Propuestos por los profesores de la asignatura en ex´ menes
a
Compilados y resueltos por Manuel Ruiz Delgado

Escuela T´ cnica Superior de Ingenieros Aeron´ uticos
e
a
Universidad Polit´ cnica de Madrid
e
21 de junio de 2010

II

´
Indice general
1. Movimiento rectil´neo
ı
1.1. Caso F (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
˙
1.2. Caso F (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Oscilador arm´ nico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

1
1
4
10

2. Movimiento del punto libre
2.1. Part´cula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı
2.2. Movimientos centrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Din´ mica orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

19
19
30
39

3. Punto sometido a ligaduras
3.1. Punto sobre superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Punto sobre curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
49
65

4. Din´ micarelativa
a

81

5. Ex´ menes: Din´ mica del Punto
a
a
95
5.1. Ex´ menes recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
a
5.2. Ex´ menes m´ s antiguos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
a
a
6. Din´ mica anal´tica: sistemas hol´ nomos
a
ı
o

115

7. Din´ mica anal´tica: Sistemas no hol´ nomos
a
ı
o

145

8.Percusiones

155

9. Din´ mica del s´ lido
a
o

193

10. Ex´ menes: Din´ mica de Sistemas
a
a
245
10.1. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.2. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

III

IV

Cap´tulo 1
ı
Movimiento rectil´neo
ı
1.1. Caso F (x)
˙
Ejercicio 1.1.1: Unapart´cula de masa M se coloca en reposo sobre un plano inclinado un angulo α
ı
´
con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es µ < tan α . Razonar si hay velocidad l´mite. Obtener la
ı
ley horaria del movimiento.

N
R

mg sin α
mg cos α

Ec. del movimiento:
¿Desliza?

|R |
|N |

≤µ ?

mg sin α − R = mx
¨
−mg cos α + N = 0

|mg sin α |
|mg cos α |

= tan α > µ

Desliza conresistencia f (v) = R = µ mg cos α < mg sin α

Es obvio que no existe VL / f (vL ) = mg sin α , pues la resistencia es constante y menor que la
componente tangencial del peso.
La ley horaria es trivial, pues se mueve con aceleraci´ n constante g (sin α − µ cos α ) paro
tiendo del reposo:
1
x = g (sin α − µ cos α ) t 2
2

1

Ejercicio 1.1.2: Seg´ n la ley de Stokes, la resistenciasobre una esfera de radio r que se mueve en un
u
fluido de coeficiente de viscosidad η es F (v) = 6πη r v. Calcular la velocidad l´mite de una esfera de
ı
densidad ρ , doble de la del fluido, y la ley horaria cuando se deja caer desde el reposo.

R

Las fuerzas que act´ an sobre la esfera son:
u
• Peso de la esfera:
ρ 4 π r3 g
3

ma g

• Flotaci´ n (peso del agua desalojada):
o
me g• Resistencia:

ρ4
3
2 3πr g

f (v) = 6πη rv

La velocidad l´mite se alcanza cuando la resistencia equilibra al peso menos la flotaci´ n:
ı
o

ρ4 3
π r g = 6πη r vL
23

⇒

vL =

1 ρg 2
r
9η

La ecuaci´ n del movimiento la podemos escribir como:
o
v dv
6πη r
(vL − v) = c (vL − v) ⇒
= c dt
ρ 4 π r3
0 vL − v
3
vL
− L (vL − v) = ct + C ; −L vL = C ; L
= ct ⇒
v = vL1 − e−ct
vL − v

mv = f (vL ) − f (v) ⇒ v =
˙
˙

Siendo c =

9η
.
2ρ r2

Integrando otra vez, se obtiene la ley horaria.

x = vL t +
v

e−ct
c

+C ;

0 = vL 0 +

1
+C
c

vL

⇒

x=

vL
c t + e−ct − 1
c

x

vL t
t

t

2

Ejercicio 1.1.3: Una esfera de masa m, radio r y coeficiente de resistencia aerodin´ mica CD cae en el
a
aire de densidad ρ ....