Fisicoquimica

Parte II

ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENTE DEL TIEMPO: Modelos Simples
Estados Estacionarios Partícula Libre Partícula en Una Caja 1D Oscilador Armónico Rotor Rígido

Estados Estacionarios
Como podemos obtener las funciones de onda

 ( x, t )

?

Resolviendo la Ecuación de Schrödinger

  2  2 i   V , 2 t 2m x
donde V es un potencial especifico e independiente de t.V ( x, t )  V ( x )
En este caso la Ecuación Schrödinger puede ser resuelta por el método de separación de variables, haciendo la siguiente consideración:

 ( x, t )   ( x) (t )

 ( x, t )   ( x) (t )

 d (t )   ( x) t dt
 2  d 2 ( x)   (t ) 2 2 x dx

Substituyendo en la Ecuación de Schrödinger:

d  2 d 2 i     V, 2 dt 2m dx
y dividiendo por

1 d  2 1 d 2 i   V ( x), 2  dt 2m  dx

1 d  2 1 d 2 i   V ( x)  E 2  dt 2m  dx

1 d i E  dt

 2 1 d 2   V ( x)  E 2 2m  dx

d iE   dt 

①

 2 d 2   V ( x)  E ② 2 2m dx

La Separacion de variables ha cambiado una a ecuación diferencial parcial en dos ecuaciones diferenciales ordinarias.

d iE ①:   dt 

 (t )  CeiEt / 

 (t ) e
②:

 iEt / 

 2 d 2   V ( x)  E 2 2m dx

Ecuación de Schrödinger Independiente del tiempo.

En el resto del curso solo discutiremos la solucion de la Ecuacion Schrödinger independiente del tiempo, para una variedad de sistema con potenciales simples. Que son la soluciones y porque son tan importantes la soluciones de la Ecuación de Schrodinger Independiente del tiempo.

Trespropiedades de las Soluciones:

(1) Son estados estacionarios.
soluciones:
2

 ( x, t )   ( x)e  iEt / 
*  iEt / 

 ( x, t )     ( x)e
*

 ( x )e
*

iEt / 

  ( x)

2

   Q ( x, p )    Q  x, i dx x    d  * iEt /   iEt /    ( x ) e Q  x,  ( x)e dx  i dx 

  d    ( x)Q x,  ( x)dx  i dx 
*

La densidad de probabilidades independiente del tiempo. Cada valor esperado es constante en el tiempo.

(2) Son Estados de energía total definida
De la mecánica clásica, la energía total, (energía cinética y potencial) es llamada el Hamiltoniano:

p2 H ( x, p )   V ( x) 2m

 p  i  x

 2 d 2   V ( x)  E 2 2m dx
*

2 2 ˆ H   V ( x) 2 2m x ˆ H  E

ˆ  ( x)dx  E  2 dx  E H   ( x) H  H2

ˆ 2 ( x)dx  E 2  2 dx  E 2   ( x) H 
* 2

  H
2 H

 H

2

 E2  E2  0

Conclusión: Una solución separable tiene la propiedad de que cada medida de la energía total da siempre el mismo valor E.

(3) La solución general es una combinación lineal de soluciones separables.

 d  ( x)   V ( x) ( x)  E ( x) 2 2m dx
2 2

E1 E2
E3

 1 ( x)

1 ( x, t )  1 ( x)e iE1t /  2 ( x, t )   2 ( x)e iE2t / 
3 ( x, t )   3 ( x)e  iE3t / 

 2 ( x)  3 ( x)






Una solución mas general puede ser construida por combinación lineal:

 ( x, t )   cn n ( x)e iEnt / 
n 1



 c1 , c2 , c3 , 


son constantes fijan la condicion inicial
 ( x, t )
Determina las constantes c que especifican las condicionesiniciales:


 (x,0)
 ( x,0)   cn n ( x,0)
n 1

 ( x, t )   cn n ( x)e iEnt /    cn n ( x, t )
n 1 n 1



n ( x, t )   n ( x)e

 iEn t / 

La Partícula Libre

V ( x)  0

 2 d 2 ( x)   E ( x) 2 2m dx d  ( x)  k 2 ( x) 2 dx
2

2mE donde k  0 2 

k 2
2m

E

La solución general de la ecuación de Schrodinger puede escribirse en formaexponencial:

 ( x)  Aeikx  Be ikx

 ( x, t )   ( x)e  Et /   Ae

ik ( x 

k t) 2m

 Be

ik ( x 

k t) 2m

 ( x, t )   ( x ) e
k t) 2m

 Et / 

 Ae

ik ( x 

k t) 2m

 Be

ik ( x 

k t) 2m

La funcion de arriba representan una combinacion de dos ondas:

e e

ik ( x 

Representa una onda viajando en la dirección positiva de x...