FISIIMUNI1N04VLC Dinamica II

DINÁMICA II

Joseph-Louis de Lagrange (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés de origen
italiano. Sus padres tuvieron 11 hijos de los cuales sólo el menor, Lagrange, llegó a
sobrevivir. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud
especial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés
Edmund Halley despertó su interés y,tras un año de incesante trabajo, era ya un
matemático consumado. Lagrange era de mediana altura, complexión débil, con ojos azul
claro y un color de piel pálida. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia,
y al evitarla de buena gana permitió a otros tener crédito por cosas que él había hecho.
Su actividad mental durante unos veinte años que paso en Prusia fue asombrosa, no sólopor el hecho de producir su espléndida Mécanique analytique, sino por contribuir, con
doscientos trabajos, a las Academias de Berlín, Turín, y París. Algunos de éstos realmente
son tratados, y todos, sin excepción, son de una extraordinaria calidad. Salvo un corto
tiempo cuando él estaba enfermo en que produjo aproximadamente un artículo por término
medio al mes.
Fue uno de los matemáticos másimportantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones,
sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números.
Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los
movimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica (1788).

Cuando se golpea una pelota de golf en el campo de juego, una gran fuerza Factúa sobre la
pelota durante un corto intervalo de tiempo Δt, haciendo que ésta se acelere desde el reposo
hasta una velocidad final. Es en extremo difícil medir tanto la fuerza como la duración de su
acción; pero el producto de ambas F · Δt puede calcularse en función del cambio de
velocidad resultante de la pelota de golf. A partir de la segunda ley de Newton, sabemos que
F=m·a
usando ladefinición de aceleración
F=m·
Multiplicando por Δt se obtiene:

Δv
Δt

F · Δt = m · (vf – vi)

de donde se tiene

F · Δt = m · vf – m · vi

A partir de esta relación definiremos momentum lineal e impulso:
Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento se define mediante la siguiente expresión:
p=m·v
El momentum lineal p es una cantidad vectorial, de igual dirección y mismo sentido que el
vector velocidad v,como muestra la figura 1. Por la definición en el SI la unidad de medida
del momentum lineal es Kg m/s.

v
m

p

fig. 1

Impulso I se define mediante la expresión:
I = F · Δt
Observemos en la figura 2, que I es un vector que tiene la misma dirección y el mismo
sentido que F. Por la
impulso es N · s.

expresión anterior vemos que en el SI la unidad de medida del
I
t1

t2

F

F

Δt = t2 − t1

fig.2

Relación entre Impulso y Momentum Lineal
En la figura 3 un cuerpo de masa m, se mueve con una velocidad v1. Si una fuerza F,
constante, actúa sobre el cuerpo durante un intervalo de tiempo Δt , observaremos que
su velocidad sufrirá una variación, pasando a ser v2 al final del intervalo.
v1

v2

F

fig. 3

F

A partir de las definiciones anteriores en la siguiente relación:
F · Δt = m · v2 – m· v1
se observa:
F · Δt Representa el impulso I que recibió el cuerpo.
m · v2 Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, p2, al final del intervalo Δt.
m · v1 Representa la cantidad de movimiento del cuerpo, p1, al inicio del intervalo Δt.
lo que implica
I = p2 – p1
I = Δp
Esta es la relación que existe entre el impulso y el momentum, es decir, el impulso es el
responsable de la variación delmomentum del cuerpo.

Fuerzas internas y externas
Las fuerzas que actúan en un sistema de partículas se pueden clasificar

en internas y

externas. Si una partícula del sistema ejerce una fuerza sobre otra que también pertenece al
sistema, aquella será una fuerza interna. Por otra parte, si la fuerza que actúa sobre una
partícula del sistema fuese ejercida por un agente que no pertenece al...