Fisik

La figura muestra una polea fija de masa despreciable y sin
roce de la cual penden 2 partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas por
una cuerda liviana e inextensible. Calcule la aceleración de cada partícula y
la aceleración del centro de masa del sistema de partículas.
Solución. Suponiendo que m2 > m1 el sistema se moverá en el sentido
de los punteros del reloj y si T indica latensión tendremos
m2g − T = m2a2,
T − m1g = m1a1,
como a1 = a2 se tiene sumando
(m2 − m1)g = (m1 + m2)a2,
de donde sigue
a1 =
m2 − m1
m1 + m2
gˆj, a2 = −
m2 − m1
m1 + m2
gˆj.
242 Soluciones ejercicios
La aceleración del centro de masa será
acm =
m1a1 + m2a2
m1 + m2
=
m1(m2 − m1)
(m1 + m2)2 gˆj −
m2(m2 − m1)
(m1 + m2)2 gˆj
= −
(m2 − m1)2
(m1 + m2)2 gˆj
=
(m2 − m1)2
(m1 +m2)2 g.

Tres partículas de igual masa m, unidas por barras rígidas
de largo L y masa despreciable, están obligadas a moverse sobre los ejes tal
como lo muestra la figura. Si la partícula de la derecha tiene la velocidad
v = v0ˆı , determine la velocidad del centro de masa, el momento angular del
sistema respecto del centro de masa y respecto del origen O.

que
x = L sin θ,
y = −L cos θ,de donde derivando
˙ x = L˙θ cos θ = v0,
˙ y = L˙θ sin θ = L sin θ
v0
L cos θ
= v0 tan θ.
8.1 Sistemas de Partículas 243
Luego
vcm =
2mv0ˆı + mv0 tan θˆj
3m
,
=
1
3
(2v0, v0 tan θ).
Las velocidades de las partículas son paralelas a los vectores posición, luego
evidentemente
L
0 = 0.
El vector posición del centro de masa es
rcm =
mL sin θˆı + m(L + L sin θ)ˆı − mL cos θˆj3m
,
podemos finalmente calcular
Mrcm ×vcm =
=
mLv0
3
(1 + 2 sin θ, − cos θ) × (2, tan θ)
=
1
3
mLv0
sin θ + 2
cos θ
ˆk.
El momentum angular relativo al centro de masa se obtiene del teorema de
Koenig
L
0 = Mrcm ×vcm + Lcm = 0,
de donde
L
cm = −
1
3
mLv0
sin θ + 2
cos θ
ˆk.
Nota : tan θ + 2sinθ tan θ + 2cos θ = sin θ+2
cos θ

Una barra de longitud L tiene un extremofijo y ella rota en
un plano fijo respecto a ese extremo de manera que el ángulo que ella forma
con un eje fijo en el plano del movimiento es θ = ω0t siendo ω0 una constante.
Determine la velocidad y aceleración del centro de masa de la barra.

Solución. Como es fácil comprender, G tiene movimiento circunferencial
con radio L/2 de modo que simplemente podemos usar las expresiones paracoordenadas polares
v = R˙θ ˆθ,
a = (R¨θ)ˆθ − (R˙θ
2
)ˆr,
282 Soluciones ejercicios
pero ahora ˙θ = ω0 y ¨θ = 0 de manera que resultará
vG =
1
2
Lω0ˆθ,
aG = −(
L
2
ω20
)ˆr,
y en coordenadas cartesianas
vG =
1
2
Lω(ˆı cos ω0t − ˆj sin ω0t),
aG = −(
L
2
ω2)(ˆı sin ω0t + ˆj cos ω0t).

Un disco de masa M y radio R se apoya sobre un plano horizontal
áspero de modo que puede rodarsi resbalar con su plano vertical. Si se
tira del centro del disco con una fuerza horizontal constante F, determine:

a) La aceleración del centro de masa del disco.
b) La aceleración angular del disco.
c) La fuerza de roce.
Solución. Sea f la fuerza de roce, de sentido contrario a F. Así tenemos
con ˆk hacia adentro del papel
F − f = MaCM ,
L
CM = ICM ω,
d
dt
L
CM = ICM
d
dt
ω= ICM
d
dt
ω(−ˆk),
τ CM = Rf (−ˆk),
como ICM = MR2/2 tenemos
1
2
MR2 d
dt
ω = Rf,
f =
1
2
MR
d
dt
ω,
pero el disco rueda sin resbalar de manera que
aCM = R
d
dt
ω,
y las dos ecuaciones que tenemos se reducen a
f =
1
2
MaCM ,
F − f = MaCM ,
de donde salen los resultados
aCM =
2
3
F
M
,
α =
dω
dt
=
2
3
F
MR
,
f =
1
3
F.

Un disco de masa 10 kg y deradio 2m puede rodar sin
resbalar sobre un plano inclinado en 30o respecto a la horizontal y es tirado
por una fuerza horizontal de magnitud 100N aplicada en su centro, como se
indica en la figura.

Determine:
a) La aceleración del centro del disco.
b) La fuerza de roce.
9.2 Ejercicios de dinámica
291
Solución. Indicando las fuerzas en la figura
G F
30º
N
mg
f
30º
tenemos que...