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FÍSICA MODERNA – PROFESORADO EN FÍSICA- 2012

GUÍA DE PROBLEMAS 6:
MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA DE SCHRÖDINGER



A- La mecánica cuántica moderna

“La historia de la mecánica cuántica entrelazada con la historia de la química cuántica comienza esencialmente con el descubrimiento de los rayos catódicos en 1838 realizado por Michael Faraday, la introducción del término cuerpo negro por GustavKirchhoff en el invierno de 1859-1860, la sugerencia hecha por Ludwig Boltzmann en 1877 sobre que los estados de energía de un sistema físico deberían ser discretos, y la hipótesis cuántica de Max Planck en el 1900, quien decía que cualquier sistema de radiación de energía atómica podía teóricamente ser dividido en un número de elementos de energía discretos, E, tal que cada uno de estoselementos de energía sea proporcional a la frecuencia, v, con las que cada uno podía de manera individual irradiar energía, como lo muestra la siguiente fórmula: E=hv, donde h es un valor numérico llamado constante de Plank. Entonces, en 1905, para explicar el efecto fotoeléctrico (1839), esto es, que la luz... en ciertos materiales puede funcionar para expulsar electrones del material, Albert Einsteinpostuló basado en la hipótesis cuántica de Planck, que la luz en sí está compuesta de partículas cuánticas individuales, las cuales más tarde fueron llamadas fotones (1926). La frase "mecánica cuántica" fue usada por primera vez en el trabajo de Max Born llamado Zur Quantenmechanik (La Mecánica Cuántica). En los años que siguen, esta base teórica lentamente comenzó a ser aplicada a estructuras,reacciones y enlaces químicos” 1

“... la teoría de Bohr y su extensión por Wilson y Sommerfeld, que constituyen la Teoría Cuántica Antigua, tuvieron importantes éxitos. Sin embargo debemos señalar las siguientes limitaciones y defectos:
• La teoría se aplica solamente a sistemas periódicos en el tiempo, lo que excluye muchos sistemas
físicos.
• Permite calcular las energías de los estados permitidosy las frecuencias de la radiación emitida o absorbida en las transiciones entre esos estados, pero no predice el tiempo característico involucrado en una transición.
• Sólo se aplica a los átomos con un electrón, y aquellos que tienen muchos aspectos en común con los átomos de un electrón (como los metales alcalinos), pero falla si se la intenta aplicar al átomo de helio, que tiene doselectrones.
• Por último, la teoría no es intelectualmente satisfactoria, pues se mezclan en ella de forma arbitraria aspectos clásicos con aspectos cuánticos.

Puesto que algunas de estas objeciones son de carácter fundamental, los físicos de la época se esforzaron por desarrollar una nueva teoría Cuántica que no padeciera estas limitaciones ni fuera pasible de objeciones. Este esfuerzo logró el objetivocuando Werner Heisenberg en 1924 (y luego Max Born y Pascual Jordan) propuso su dinámica de matrices y Erwin Schrödinger en 1925, apoyándose en una idea propuesta en 1924 por Louis-Victor de Broglie, desarrolló la mecánica ondulatoria. Pese a que su forma es muy distinta, las teorías de Heisenberg y de Schrödinger son completamente equivalentes y su contenido es idéntico, como fue demostrado porSchrödinger. El planteo axiomático de la Mecánica Cuántica se completó poco después por medio de la teoría de las transformaciones de Paul A. M. Dirac y Pascual Jordan 2

Teniendo en cuenta los fenómenos conocidos hasta el momento en que Schrödinger desarrolla su mecánica ondulatoria, revise las hipótesis clásicas y cuánticas que se mezclan en la teórica cuántica antigua.



B- EjercitaciónEjercicios

a) Interpretación física de Born. Indique cuáles de las funciones no representa una función de onda de Schrödinger de un sistema físico real. Fundamente




b)




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c) .














d) Resuelva la ecuación de Schrödinger en una región del espacio donde la energía potencial U es constante y mayor que la energía E ( entonces K=E-U<0). Muestre que la solución se puede escribir de la...