fisoologoa

Matem´tica en la Salud
a
Sergio Plaza
Departamento de Matem´tica y C.C.
a
Universidad de Santiago de Chile
Casilla 307-Correo2
Santiago, Chile
e-mail: splaza@lauca.usach.cl
homepage: http://fermat.usach.cl/~dinamicos/SPlaza.html

Ver´nica Poblete
o
Departamento de Matem´tica
a
Facultad de Ciencias
Universidad de Chile
˜ n
Las Palmeras 3425, Nu˜oa, Santiago
e-mail:vpoblete@uchile.cl

November 23, 2010

Contenidos

0 Introducci´n
o

1

1 N´meros reales
u

3

1.1

Axiomas y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Axiomas de Orden e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Valor absoluto: Distancia en R . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

15

2 Funciones de variable real
2.1

23

Definici´n, propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . .
o

23

2.1.1

Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.2

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2

Algebra de Funciones y Funci´n Inversa . . . . . . . . . . . .
o

42

2.3

Funci´nExponencial y Funci´n Logaritmica . . . . . . . . . .
o
o

50

2.3.1

Funci´n Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

50

2.3.2

Funci´n Logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

52

2.3.3

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

i

ii
3 Trigonometr´
ıa

63

3.1

´
Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

63

3.2

Funciones Trigonom´tricas de ´ngulos agudos . . . . . . . . .
e
a

64

3.3

Funciones Trigonom´tricas de n´meros reales . . . . . . . . .
e
u

68

3.4

Identidades Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

75

3.5

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4 L´
ımites y continuidad
4.1

83L´
ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

4.1.1

Propiedades de los l´
ımites . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.1.2

L´
ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

4.1.3

L´
ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.2

Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

4.3

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

5 Derivada

103

5.1

Definici´n e Interpretaci´n Geom´trica de Derivada . . . . . . 103
o
o
e

5.2

C´lculo de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
a
5.2.1
5.2.2

Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.3

Derivadas de Orden Superior . .. . . . . . . . . . . . 113

5.2.4

Funciones Impl´
ıcitas y Derivaci´n Impl´
o
ıcita . . . . . . 114

5.2.5
5.3

a
´lgebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Aplicaciones de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

iii
5.3.1

Valores Extremos, Crecimiento y Decrecimiento . .. . 121

5.3.2

Raz´n de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
o

5.3.3

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6 Integraci´n
o
6.1

139

Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.1.1
6.1.2

Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.3

Reglas B´sicas de Integraci´n . . . . . .. . . . . . . . 141
a
o

6.1.4
6.2

Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

M´todos de integraci´n
e
o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2.1

Integraci´n por sustituci´n . . . . . . . . . . . . . . . 146
o
o

6.2.2

Integraci´n por Partes . . . . . . . . . . . . ....