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¿Qué es una derivada?
Derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. Una derivada puede ser vista como, cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado.
Por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando
La derivada de una función con respecto a la variableindependiente es la razón de cambio instantáneo de la función con respecto a la variable independiente. En otras palabras, la derivada es el límite del cociente de los incrementos de la función y la variable independiente cuando el incremento de la variable tiende a cero.
En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de “y” con respecto a “x” es:
dy y
y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim
dx !x x
Haydiferentes notaciones para denotar la derivada de “y” con respecto a “x” se ha encontrado que:
dy Lim f(x + x) - f(x)
=
dx x!0
La derivada así definida es una medida de variación instantánea de la variable dependiente “y” con respecto a la variable independiente “x”.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estosvalores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empiezaa ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.
Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.
Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo
Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos
La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntoscríticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.
En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.
En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.
En un puntocrítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.
Obtener la primera derivada.
Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudierahaber máximos o mínimos en la función.
Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.
Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debetener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.
Sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

CRITERIO DE LA SEGUNDADERIVADA
Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
Este procedimiento consiste en:
Calcular la primera y segunda...