flexión en vigas

Equilibrio y deformaci´n de vigas rectas
o
Jaime Planas Rossell´
o
Catedr´tico de Universidad
a
Universidad Polit´cnica de Madrid
e
ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Departamento de Ciencia de Materiales
Profesor Aranguren, sn, 28040 Madrid
jaime.planas@upm.es
Notas de clase, 2007-2009. Borrador 6, corregido 2009/12/02.

1.

Introducci´n
o

En este documento serecogen los conceptos b´sicos de la teor´ de vigas rectas
a
ıa
para ser aplicada en un curso breve (3 cr´ditos) de resistencia de materiales, en
e
el que se han introducido previamente, los conceptos de equilibrio, compatibilidad
y ecuaci´n constitutiva de termoelasticidad uniaxial con aplicaci´n al estudio del
o
o
equilibrio y la cinem´tica de sistemas de bielas o tirantes y s´lidos r´
ao
ıgidos.

2.
2.1.

Flexi´n pura y momento flector
o
Ejemplo

La figura 1a muestra la imagen de una barra de pl´stico flectada aplicando, con
a
pulgares e ´
ındices, dos pares de fuerzas, uno en cada extremo. Este tipo de carga
se denomina flexi´n en cuatro puntos.
o
Si imaginamos un corte recto de la viga en el tramo central (Fig. 1b), el sistema
de fuerzas interiores que act´ansobre la secci´n de corte debe ser equivalente a
u
o
un momento M (en rojo) que equilibra al del par de fuerzas exteriores. Tomando
momentos en el punto A e igualando a cero tenemos
+

MA = 0 : M − F d = 0 ⇒ M = F d

(1)

Obviamente, el momento M es igual para cualquier punto del vano central de
la viga, como se deduce de que el corte es para un punto arbitrario, y se confirma
delequilibrio de un tramo de viga completamente contenido en el vano central,
como el de la figura 1c. Un tramo de viga cuyo sistema de fuerzas interiores sobre
una secci´n recta se reduce a un momento, se dice que est´ solicitado en flexi´n
o
a
o
pura, y el esfuerzo correspondiente se denomina momento flector.
Verifique que se obtiene el mismo resultado si se plantea el equilibrio de un tramo de vigaque incluya el extremo izquierdo, en lugar del derecho.

1

(a)

(b)

F

F
F

F
Fd

A
F

M
(c)
(d)

M

M

dF
M
F

Figura 1: Viga sometida a flexi´n en cuatro puntos: en el vano central el momento
o
flector es constante.

2.2.

Criterio de signos

Como se ha indicado, un momento flector es un esfuerzo, y es conveniente
escoger un criterio de signos. Para vigashorizontales, se elige tradicionalmente el
signo positivo cuando la deformada de la viga es c´ncava hacia arriba (Fig. 2a), y
o
negativo cuando es c´ncava hacia abajo (Fig. 2b).
o
Sin embargo, la orientaci´n de la concavidad no es una propiedad intr´
o
ınseca,
como puede comprobarse dibujando una forma c´ncava hacia arriba en una hoja de
o
papel y gir´ndola 180◦ en su plano, con lo que“arriba”pasa a ser “abajo”. Tenemos
a
pues que definir unos ejes unidos a la viga (o al papel) que indiquen de forma unica
´
lo que se entiende por “arriba”.
Lo primero es situar el eje x a lo largo del eje geom´trico de la viga con un
e
sentido que podemos elegir arbitrariamente, y que suele tomarse, para vigas horizontales, de izquierda a derecha, como en la figura 2c. El eje y se toma siempreperpendicular al eje x y orientado de manera que para llevar el semieje positivo x
sobre el semieje positivo y se realiza un giro de 90◦ en sentido positivo; nosotros
tomaremos el sentido de giro antihorario como positivo (Fig. 2c).
Con esta orientaci´n de ejes, el esfuerzo flector en una rebanada de una viga con
o
flexi´n positiva tiene los signos mostrados en la parte inferior de la figura2c, por lo
o
que generalizaremos el criterio de signos utilizando el mono de la figura 2d, aunque
muchas veces indicaremos s´lo una flecha indicando el sentido del eje x, que debe
o
entenderse como la orientaci´n que se le da a la viga o el ”sentido de recorrido”,
o
tal como muestra el diagrama de la figura 2e. En la secci´n 3.2 ampliaremos los
o
criterios de signos.

2

(a)
(b)

y...