Fluidos 3

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

José Agüera Soriano 2011

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ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

• ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
• ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
• ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA
• RESALTO HIDRÁULICO

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INTRODUCCIÓN
Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo:
• ecuación de continuidad (conservación de la masa)
•ecuación de la energía (conservación de la energía)
• ecuación de la cantidad de movimiento
(conservación de la cantidad de movimiento).

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ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
En un flujo permanente,
m& 1 = m& 2 = m&

ρ1 ⋅ Q1 = ρ 2 ⋅ Q2 = ρ ⋅ Q

V2
2

a) para gases,
m& = ρ1 ⋅ V1 ⋅ S1 = ρ 2 ⋅ V2 ⋅ S 2

b) para líquidos ( ρ1 = ρ 2 = ρ )
Q = V1 ⋅ S1 = V2 ⋅ S 2

V1
1

volumen decontrol
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Energía de un líquido en reposo
E=

p1

ρ

+ g ⋅ z1 =

p2

ρ

+ g ⋅ z2

o en metros de columna de líquido,
p1
p2
H=
+ z1 =
+ z2

γ

γ

Energía de un líquido en movimiento
V2 p
E=
+ + g ⋅ z J/kg en S.I.
2 ρ
o en metros de columna de líquido,

V2 p
H=
+ +z m
2g γ
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Ecuación energía en conducciones de líquidos
H1 = H2 + Hr12
SLL

V12 p1
V22p 2
+
+ z1 =
+
+ z 2 + H r12
2g γ
2g γ
plano de carga inicial (PC)

V 21 / 2g
p 1 /γ

1

A'
línea pie
zométrica

(LP)

A
H1

Hr 12

línea d
e ene
rgía (L
E)
LP
B'

z1

V 22 / 2g
p 2 /γ

B

H2

2
plano de referencia
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V z2
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V 2 2 g = altura cinética (desnivel entre LE y LP)

p γ = altura de presión (desnivel entre LP y conducto)

z

= altura de posición respecto plano dereferencia

p γ + z = altura piezométrica
SLL

plano de carga inicial (PC)

V 21 / 2g
p 1 /γ

línea

1

A'
piezométric
a (LP)
A

H1

H r 12

línea d
e ene
rgía (L
E)
LP
B'

z1

V 22 / 2g
p 2 /γ

B

H2

2
plano de referencia
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V z2
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Ecuación energía en máquinas flujo líquido
H1 = H2 + |Hr12| + Ht
Ht trabajo técnico, el que atraviesa los límites de la máquina

V12 − V22 p1− p 2
Ht =
+
+ z1 − z 2 − H r
2g
γ
H r 12

Ht

Ht

H r 12
Ht
Ht

H1

H2
z1

1

turbina

2
plano de referencia

H2

bomba

H1
z1

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2

1
plano de referencia
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Ecuación energía en máquinas flujo líquido

H1 − H2 = |Hr12| + Ht
He

Ht

He
Hm

Hm

Ht

Ht

TURBINA

Ht

Hr
H2 H1

H1 H2

Hr

BOMBA
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Potencia de un flujo
Turbina de reacción
Q m3 s 
ρ⋅ Q kg/s
3
Densidad : ρ kg m 
Altura : H m 
2
2
g
⋅
H
m
s
(J/kg)
2
Gravedad : g m s 
Caudal :

P = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H J/s (W)
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EJERCICIO
La energía de un caudal de agua, de 60 m3/s,
es, H = 50 m. Calcúlese su potencia.

Solución
P = γ ⋅ Q ⋅ H = 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 60 ⋅ 50 =
3

= 29430 ⋅10 W = 29430 kW (40000 CV)

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ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DEMOVIMIENTO
Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad
del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo
aceleran:
r
ΣF = m& ⋅ a

B
V1

α

C
ΣF

V1

V2
D

C
V2

A
ΣF

D

A
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B B'
m1
α

V1

C

ΣF
A A'
D
(c)

C'

m2B '
B
m1

D'

V2 V

α

1

C

ΣF

m2

A A'

C'

V2

El impulso (ΣF ⋅ dt ) sobre la masa del volumen de control
provocará una variación de sucantidad de movimiento [d ( m ⋅ V )]:
r
ΣF ⋅ dt = d (m ⋅ V ) = dp
r
d
p
Esta variación
del sistema es la corresponde al instante
(t + dt), menos la que tenía en t:
r r
r
dp = pA'B'C'D' − pABCD =
r
r
r
r
= ( pA'B'CD + pCDD'C' ) − ( pABB'A' + pA'B'CD )
D

(c)

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D'

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B B'
m1
α

V1

C

ΣF

m2

A A'
D
(c)

Por ser el régimen permanente
r r
r
ΣF ⋅ dt = dp = pCDD'C' − pABB'A'=

C'

V2
D'

= m2 ⋅ V 2 − m1 ⋅ V 1 = m& 2 ⋅ dt ⋅ V 2 − m& 1 ⋅ dt ⋅V 1
ΣF = m& 2 ⋅ V 2 − m& 1 ⋅ V 1

ΣF = m& ⋅ (V 2 − V 1 )
válida para líquidos y para gases
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APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA

Salida por un orificio
SLL

pa

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V
H=
2g
V2
H
2g =

p
γ

V = 2⋅ g ⋅ H

V

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Flujo en tuberías con salida libre
Con el mismo diámetro y el...