Fluidos

Mec´nica de Fluidos - 2007 a Problemas resueltos Cinem´tica a
1. Se tiene el siguiente campo de velocidades: vx = x2 x , + y2 vy = x2 y , + y2 vz = 0

a) Encuentre las l´ ıneas de corriente, las trayectorias y las l´ ıneas de humo. b) Encuentre una expresi´n para el campo Lagrangiano de velocidades (tome o como referencia el tiempo t = 0). Si a t = 0 se tiene una mancha contaminante de laforma: C(x, y, z) = C0 e−
x2 +y 2 σ2

y se sabe que el contaminante es un is´topo radiactivo que decae seg´n la ley: o u −t/λ C = Ci e , c) ¿Cu´l ser´ la concentraci´n de contaminante que medir´ un sensor ubia a o ıa cado en el punto (σ, 0, 0) a tiempo t = 0? d ) Encuentre la tasa de cambio de la concentraci´n que medir´ el mismo o ıa sensor, en el mismo punto, en el mismo intante t = 0. Respuesta:a) Como se trata de un campo estacionario, las l´ ıneas de corriente, las trayectorias y las l´ ıneas de humo ser´n coincidentes. La velocidad en todo a punto es paralela al vector posici´n (proyectado sobre el plano x − y), de o manera que toda part´ ıcula del fluido se mueve siempre alej´ndose del eje a z, describiendo rectas radiales. Para obtener una expresi´n formal de la ecuaci´n de estas l´o o ıneas se puede partir de la ecuaci´n de las l´ o ıneas de corriente: x dx = vx = 2 , ds x + y2 dy y = vy = 2 , ds x + y2 dz = vz = 0 ds

eliminando el par´metro s e integrando desde un punto en particular a (x0 , y0 , z0 ) se tiene: y dy = , dx x
y y0

dy = y

x x0

dx y x y x , log = log ⇒ = , z = z0 x y0 x0 y0 x0

b) Sabemos que el campo Lagrangiano de velocidades (V ) evaluadoen (x, t) debe ser igual al campo Euleriano (v) evaluado en (Φ(x, t), t), donde Φ(x, t) es la posici´n, a tiempo t, de la part´ o ıcula que en cierto tiempo

de referencia estaba en la posici´n x. Adem´s, el campo Lagrangiano de o a velocidades se puede obtener de la funci´n Φ(x, t), tomando su derivada o parcial respecto del tiempo: V (x, t) = v(Φ(x, t), t) = ∂Φ(x, t) ∂t

para nuestro casoparticular, todas las l´ ıneas son radiales y equivalentes, en el sentido en que la velocidad cambia s´lo con el radio, podemos o simplificar el c´lculo restringi´ndonos al eje x: a e ∂Φ(x, t) 1 = V (x, t) = v(Φ(x, t), t) = ∂t Φ de donde, considerando que al tiempo de referencia t = 0, la part´ ıcula se encuentra en Φ0 = Φ(x, 0) = x:
Φ t

wdw =
Φ0 0

dt ⇒ Φ2 − Φ2 = 2t 0 √ x2 + 2t

Φ(x, t) =derivando:

1 x2 + 2t Si quisi´ramos generalizar este resultado -obtenido para una part´ e ıcula en el eje x- a todo el espacio, “x” debe ser interpretado como el radio, y “V ” como la velocidad radial: y x √ √ , Vy = √ 2 , Vz = 0 Vx = √ 2 2 x2 + y 2 + 2t 2 x2 + y 2 + 2t x +y x +y V (x, t) = √ c) Sustituendo en la expresi´n de C(x, y, z), a t = 0: o C(σ, 0, 0) = C0 e−σ
2 /σ 2

=

C0 e

d )La ley de decaimiento radiactivo es v´lida para cada punto material, de a manera que derivando la expresi´n C = Ci e−t/λ se obtiene la derivada o material de la concentraci´n del contaminante. La tasa de variaci´n medio o da por el sensor fijo al espacio representa la derivada parcial con respecto al tiempo del campo Euleriano de concentraciones. Usando la expresi´n o de la derivada material: DC=v· Dt C+ ∂C ∂t

se conocen la derivada material, el campo de velocidades, y el gradiente del campo euleriano en el instante t = 0. Despejando ∂C : ∂t ∂C DC = −v· ∂t Dt 2 C= −Ci −t/λ 1 ∂C e − λ σ ∂x

donde Ci es la concentraci´n inicial de contaminante en el punto en cueso ti´n (Ci = C0 /e): o
x2 +y 2 2x ∂C −C0 −0 1 −C0 1 2 C0 2 1 = e + C0 e− σ2 2 = + C0 e−1 = ( 2− ) ∂t eλ σ σ eλ σ σ e σ λ2. Si la intensidad de iluminaci´n de una part´ o ıcula fluida en (x, y, z) al tiempo t est´ dada por: a e−3t I=A 2 x + y2 + z2 y el campo de velocidades del fluido est´ dado por: a vx = B(y + 2z) vy = B(y + 3z) vz = B(2x + 3y + 2z)

donde A y B son constantes conocidas, determine la velocidad de variaci´n de o la iluminaci´n experimentada al tiempo t por la part´ o ıcula fluida que est´ en a el...