fluidos

EJERCICIOS DE DERIVADAS PARCIALES.
∂z ∂z
de la primera forma y comprobar usando la segunda
;
∂x ∂y
1
forma: a) z = ln x 2 + y 2 = [ln( x − y ) + ln( x + y )]
2
e y + e−y
e y − e−y
b) z = e x ⋅
+ ex ⋅
= e x+ y
2
2

1. En cada ejercicio hallar

[ [

] [

]]

( x − 2) 2 + y 2 1
= ln ( x − 2) 2 + y 2 − ln ( x + 2) 2 + y 2
( x + 2) 2 + y 2 2
∂z
∂z
2. Si z = (x2 + y2)sen(x2+ y2), demostrar que y − x
=0
∂x
∂y
x
∂z
∂z
3. Demostrar que la función z = y 2 sen satisface la ecuación: x + y
= 2z
y
∂x
∂y

c) z = ln

1

∂z
∂z
+ y2
=0
∂x
∂y
y
∂ 2U ∂ 2U
5. Demostrar que U = tan-1 x
es una solución de
+ 2 =0
∂x 2
∂y

4. Si z = xe y , entonces x

x2 + y2
∂z
∂z
, demostrar que x + y
=0
2
∂x
∂y
y
dG ( y ) ∂z dF ( x) ∂z
7. Si z =f(F(x)+G(y)), demostrar que
⋅ −
=0
dy
∂x
dx ∂y

6. Si z = f

∂ 2U
∂ 2U
= c2 2
∂t 2
∂x
9. Demostrar que la ecuación diferencial del problema 8 se satisface por
U = f ( x − ct ) + g ( x + ct ), donde f (u ) y g (v ) son funciones cualesquiera.
10. En los siguientes problemas, hallar las segundas derivadas parciales
f xx , f yy , f xy , f yx :

8. Si U = sen( x − ct ) + cos( x + ct ),entonces

10.1. f ( x, y ) = 5 x 4 y 3 + 2 xy
x +1
10.2. f ( x, y ) =
y −1
10.3. f ( x, y ) = e x

2

y

-2-

10.4. f ( x, y ) = ln( x + y )
2

2

10.5. f ( x, y ) = x 2 + y 2
10.6. f ( x, y ) = x 2 ye x
dz
.
dt
Comprobar la respuesta escribiendo z en forma explìcita como una función de t y
Derivando directamente co respecto a t:
11.1 z = x + 2y; x = 3t; y = 2t + 1
11.1. z= 3x2 +xy; x = t + 1; y = 1 – 2t
y
11.2. z = ; x = t2; y = 3t
x
x
11.3. z = ; x = 2t; y = t3
y
x+ y
11.4. z =
, x = t3 + 1; y = 1 – t3
x− y
11.5. z = (2x + 3y)2; x = t2; y = 2t
11.6. z = (x – y2)3; x = 2t; y = 3t
11.7. z = xy; x = et; y = e-t

11. En los siguientes problemas, utilizar la Regla de la Cadena para hallar

1
2

1
3

11.8. z = x y ; x = e2t; y = e3t
12. Si U =sen(x – ct) + cos(x + ct), entonces:
∂ 2U
∂ 2U
= c2 ⋅ 2
∂t 2
∂x
(Téngase presente que: c∈IR, constante, y además: (sen(v))’= cos(v)⋅v’;
(cos(v))’= -sen(v)⋅v’)
y
13. Demostrar que U = tan-1 x es una solución de la ecuación diferencial en
derivadas parciales:
∂ 2U ∂ 2U
+ 2 =0
∂x 2
∂y
1
(Téngase presente que (tan-1( v ))’=
)
⋅ v'
1+ v2
14. Hállese la derivada de w respecto a u,sabiendo que:
W = F(x,y,z); x = f(u,v); y = g(u,x); z = h(u,v)

-315. En los siguientes ejercicios, derìvese implìcitamente para obtener las primeras
derivadas parciales de z:
15.1. x2 + y2 +z2 = 25
15.2. xz + yz + xy = 0
15.3. tan(x + y) + tan(y + z) = 1 (Téngase presente: (tan(v))’= sec2(v)⋅v’)
15.4. z = ex⋅sen(y + x)
16. Derìvese implícitamente para obtener las primeras derivadasparciales de w:
16.1. xyz + xzw – yzw + w2 = 5
16.2. x2 + y2 + z2 + 6xw – 8w2 = 12
17. Funciones Implícitas y Jacobianos:
dU
17.1. Si U = x3y; x5 + y = t; x2 + y3 = t2; hállese
dt
2
2
17.2. Si u – v = 3x + y; u – 2v = x – 2y; encontrar, por dos métodos.
∂u
a)
∂x
∂v
b)
∂x
∂u
c)
∂y
∂v
d)
∂y
17.3. Si x = u – v + w; y = u2 – v2 – w2; z = u3 + v, hállese el Jacobiano:
∂ ( x, y , z )
∂(u , v, w)
∂F , G )
17.4. Evaluar
si F(u,v) = 3u2 – uv; G(u,v) = 2uv2 + v3
∂ (u , v)
∂ ( F ; G; H )
17.5. Si F = x + 3y2 – z3; G = 2x2yz; H = 2z2 – xy; hállese
en
∂ ( x, y , z )
el punto A(1,-1,0).
17.6. Si u = f(x,y), v = g(x,y) son funciones diferenciables, demostrar que:
∂u ∂x ∂v ∂x
⋅
+ ⋅
=1
∂x ∂u ∂x ∂v

-4APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES A PROBLEMAS RELACIONADOS CON LAECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN:

1. Supóngase que la producción diaria Q de una fàbrica depende de la cantidad K del
capital (medido en unidades de US$1.000) invertido en la planta y el equipo, y
tambièn del tamaño L de la fuerza laboral(medida en horas-trabajador). En
∂Q
∂Q
economía las derivadas parciales
y
se conocen como productos
∂K
∂L
marginales (o productividades marginales) del...