Fluidos

Ecuación de Bernoulli (demostración)

Si al cabo de cierto tiempo, el fluido se mueve desde la región cuya área transversal es A1 hacia la región de área A2. Comoel agua es incompresible, sólo cambia la longitud ∆x1 a ∆x2. El volumen permanece constante:

∆V1=∆V2 A1. ∆x1 = A2.∆x2
Tanto la energía cinética como la energíapotencial gravitatoria cambian:

∆Ec= m (v22 – v12)

y

∆Epg= mg (h2 – h1)

En donde “m” es la masa del volumen del fluido considerado y cuya densidad será:ρ= ∆
Para mantener el flujo en estas condiciones, el fluido debe empujarse de izquierda a derecha, por ejemplo con una bomba que ejerza una presión P1. Mientras sobreel fluido se aplica tal presión, el fluido reacciona aplicando una presión en contra P2. Como P=F/A, ambas fuerzas pueden representarse como F=P.A. El trabajorealizado sobre la porción de fluido por la bomba será:

W1=F1.d= +F1.∆x1= +(P1.A1).∆x1
Mientras que el trabajo realizado por esta porción de fluido en contra, será:W2=F2.d= -F2.∆x2= -(P2.A2).∆x2
Ambos trabajos son no conservativos de la energía. desarrollado sobre la porción de fluido como: Por tanto, podemos expresar eltrabajo total

WNC= W1 + W2 = +(P1.A1).∆x1 - (P2.A2).∆x2
Y como el volumen de la porción es ∆V= A1. ∆x1 = A2.∆x2 quedará:

WNC= P1.∆V1 - P2.∆V2
O en términos dedensidad:

WNC= P1. ρ - P2.

ρ

Con ello, ya aplicamos el principio de conservación de la energía:

∆Ec + ∆Epg = WNC m (v2 – v12) + mg (h2 – h1) = P1. ρ - P2.
2ρ

De donde, multiplicando por ρ/m a toda la expresión, llegamos a la conocida Ecuación de Bernoulli:

(P2 – P1) + ρ (v22 – v12) + ρg (h2 – h1) = 0