Flujo de calor en una barra infinita

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Flujo De Calor En Una Barra Infinita
Diego Samaniego, Milton Tepan, Jose Lucero, Mario Baculima

Abstract—Podemos encontrar soluciones de la ecuación de calor de una barra que se extiende hastael infinito por ambos lados. En este caso no se tienen condiciones de frontera, sinoúnicamente la condición inicial

u(x.t : p) = F G = (A cos(px) + B sin(px)) exp(−c

2 2

p t)

(5)

I. INTRODUCCION Joseph Fourier (1768-1830). En su famoso estudio de la teoría matemática de conducción del calor (1807), Fourier dedujo una ecuación (la ecuación del calor) para describir el flujo de calor en una barra unidimensional, a partir de la “Ley de enfriamiento de Newton” (el flujo de calor a través de un punto es proporcional al gradiente temperatura en ese punto). Fourier resolvió el “problemaa valores iniciales” (PVI) para esta ecuación, es decir dada la temperatura inicial de una barra finita, cuyos extremos son mantenidos a temperatura constante, Fourier calculó la temperatura en el futuro, en cualquier punto de la barra II. F LUJO DE CALOR EN UNA BARRA INFINITA Ahora se consideran las condiciones de la solución de la ecuación de calor: ∂u2 ∂u = c2 ( 2 ) (1) ∂t ∂ t En el caso de unabarra que se extiende hacia el infinito en ambos extremos (y que, como antes, está aislada en su superficie lateral). En este caso, no se tiene condiciones en la frontera sino solo la condición inicial. u(x, 0) = f (x), (−∞ < x < ∞ ) (2)

[Como en la sección anterior, la constante de separación k se ha tenido que elegir negativa k- p2 en virtud de que los valores positivos de k conducen a unafunción exponencial creciente en (5), lo cual no tiene significado físico.] Cualquier serie de funciones (5), hallada de la manera usual, al tomar p como múltiplos de un número fijo, conduciría a una función que es periódica en x cuando t=0. Sin embargo, como no se supone que la f(x) de (2) es periódica, resulta natural aplicar las integrales de Fourier en el caso presente, en lugar de las series.Cualquier serie de funciones (5), hallada de la manera usual, al tomar p como múltiplos de un número fijo, conduciría a una función que es periódica en x cuando t=0. Sin embargo, como no se supone que la f(x) de (2)es periódica, resulta natural aplicar las integrales de Fourier en el caso presente, en lugar de las series. Dado que A y B de (5) son arbitrarias, pueden considerarse estas cantidades comofunciones de p y escribir A = A(p). y B = B(p) Entonces, ya que la ecuación de calor es lineal y homogénea, función
∞ ˆ

u(x, t) =
0

u(x.t : p)dp

(6)

∞ ˆ 2 2 u(x, t) = [A(p) cos(px) + B(p) sin(px)] exp(−c p t) dt 0

Donde f(x) es la temperatura inicial de la barra. Con el fin de resolver este problema se empieza como en la sección anterior, es decir, se hace la sustituciónu(x,t)=F(x)*G(t) en (1). Con esto, se obtienen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias. F + p2 F = 0 y ˙ ˙ G + c2 p 2 G = 0 Las soluciones son: F (x) = A cos(px) + B sin(px) y G(t) = e(−c
2 2

(3)

Es una solución de (1), siempre que esta integral exista y pueda derivarse dos veces con respecto a x y una vez con respecto a t. De la representación (6) y la condición inicial (2)de deduce que ∞ ˆ 2 2u(x, 0) = [A(p) cos(px) + B(p) sin(px)] exp(−c p t) dp
0

(4)

Así entonces, al utilizar (4) y (5) de la sección 10.9, se obtiene ∞ ˆ 1 A(p) = ( ) f (v) cos(pv)dv π
0

p t)

1 B(p) = ( ) π

∞ ˆ

f (v) sin(pv)dv
0

espectivamente, aquí A y B son constantes cualesquiera. De donde una solución de (1) es:

Según [16] del problema 20, sección 10.9, esta integral de Fourier puedeescribirse

2

1 u(x, 0) = ( ) π

∞ ˆ ˆx

Solucion A partir de (11), se tiene f (v) cos(px − pv)dvdp U0 u(x, t) = √ 2c πt ˆ1 exp −
−1

0 −x

(x − v)2 4c2 t

dv

U por tanto la (6) de esta sección queda ∞ ˆ ˆx 2 2 1 u(x, t) = ( ) f (v) cos(px − pv) exp−c p t dvdp π
0 −x

Si se introduce la variable de integracion z antes dada, entonces la integración sobre v desde -1 hasta 1...