Flujo de campo electrico

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FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO
Flujo eléctrico a través de una superficie esférica.
Es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda serconsiderado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
El flujo, entonces, se define como sigue:
(1) O sea: (2)

Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior

Flujo eléctrico de una carga puntual en el interior de una esfera.
Considérese unasuperficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico  es paralelo al vector superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:
(8)
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Forma diferencial e integral de la Ley de GaussForma diferencial de la ley de Gauss
Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizarcuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.

FORMA INTEGRAL DE LA LEY DE GAUSS
Su forma integral utilizada en el caso de unadistribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde Φ es el flujo eléctrico,  es el campo eléctrico,  es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la carga total encerrada dentro del área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es la permitividad eléctrica del vacío.
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AplicacionesDistribución lineal de carga
Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerrada un cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando el campo en coordenadas cilindricas tenemos que debido a la simetría de reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modoque aplicando la ley de Gauss:

Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemos sustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección de la superficie lateral también es radial).

Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:

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Ley de Gauss para el Magnetismo
Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para el magnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocen habitualmente, Monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentes magnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y unpolo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.
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Analogía gravitacional
Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cual se escribe
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siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos...