Flujo Por Una Tuberia

1. Cuando se tiene un tubo cuyo radio R es constante y se mueve a través de él un fluido de densidad ρ y viscosidad η, impulsado por una diferencia de presión Δp, el gasto Q puede ser calculado directamente mediante la ecuación de Hagen-Poiseuille:
1 Q=πR4∆p8ηL
En la que L es la longitud del tubo o en general, la distancia que separa a p1 de p2, como se ilustra en la figura.

Ahora bien, unasituación de interés se presenta cuando se tiene una tubería que consta de un tubo ancho de radio R1 y longitud L1, seguido de una parte estrecha de radio R2 y longitud L2, como se indica en la siguiente figura:

A la tubería se le aplica la diferencia de presión Δp13 = p1-p3 para mantener un gasto Q de un fluido cuya densidad es ρ y su viscosidad es η. Cuando el flujo alcanza el estadoestacionario el gasto es el mismo en toda la tubería. Es decir que:
Q1=Q2=Q
a) Aplique la ecuación (1) al primer tubo para obtener Q1 en función de las características específicas de dicho tubo.
R: Sustituimos los valores que se nos presentan de acuerdo a la ecuación que son las variables Q=πR14∆p128ηR1

b) Aplique la ecuación (1) al segundo tubo para obtener Q2 en función de lascaracterísticas específicas de dicho tubo.
R: Suistituimos con los puntos indicados en la que se denota la diferencia Q=πR24∆p238ηL2
c) Demuestre que si conocemos Δp13, L1, L2, R1, R2 y la viscosidad del fluido, el gasto Q que fluye por la tubería es:
2 Q=πΔp138ηL1R14+L2R24

Tenemos la ecuacion del gasto en las dos tuberias, y por la informacion que poseemos el gasto es el mismo, entoncesdespejamos delta p en las dos ecuaciones para poder eliminar la presion dos quedando asi la ecuacion:

Q=πR14∆p128ηR1→∆p=8ηL1QπR14
Q=πR24∆p238ηL2→∆p=8ηL2QπR24

Sumando las dos ecuaciones se elimina la presion 2 quedando que la variacion de presion es del punto 1 al punto 3 (p1-p3):

Q8ηL1πR14+Q8ηL2πR24=p1-p2+p2-p3 Elimina p2

Sacando factor comun de los datos:

Q8ηπL1R14+L2R24=∆p13Despejando la Q de la ecuacion, obtenemos la formula deseada:

Q=πΔp138ηL1R14+L2R24

d) Demuestre que si R1=R2, la expresión (2) se reduce a la expresión (1).

Teniendo las dos ecuaciones se despeja el delta p, para obtener las dos ecuaciones siguientes:

Q=πR14∆p128ηR1→∆p=8ηL1QπR14
Q=πR24∆p238ηL2→∆p=8ηL2QπR24

Una vez despejada se suman las ecuacionesQ8ηL1πR14+Q8ηL2πR24=p1-p2+p2-p3 Elimina p2

Como el R1=R2queda constante el radio por lo que al sacar factor comun este valor se despeja, quedando asi la formula:

Q8ηπR4L1+L2=∆p13

La sumatoria de L1 y L2 es igual al largo de la tuberia queda L, sustituyendo en la ecuacion y despejando el Gasto nos queda:

Q=πR4∆p8ηL

e) Si estuvieran conectados en serie más de dos tubos de diferente radio ¿Qué formatendría la expresión (2)?

Q=πΔp138ηL1R14+L2R24+…+LnRn4

f) Definamos la resistencia al flujo Ø, como
3 Ø=8ηLπR4
Con esta definición ¿Cómo se expresaría la ecuación (1)?

R: Ø=∆p1Q

g) Demuestre que con la definición de resistencia al flujo, la expresión (2) se puede poner así:

R: Teniendo en cuenta la ecuacion formulada anteriormente (inciso f), despejando Δp de estaecuacion obtendriamos 4 Δp13=(Ø1+Ø2 )Q viendo que Ø1 y Ø2 es de diferentes puntos del tubo.

h) De acuerdo a la expresión (3) ¿Cuál conducto tiene mayor resistencia al flujo? De acuerdo a la expresión (4), cuando tubos de diferente resistencia al flujo se conectan en serie ¿Cuál es su resistencia total?

R: El conducto de menor radio es la que tiene mayor resistencia al flujo, ya que viendola expresion, si el radio es muy pequeño la resistencia seria muy alta, hay un estrangulamiento por lo que empide el movimiento libre del flujo.
R: La resistencia total de los tubos seria la suma de las resistencias de los diferentes tubos que estan conectados.

i) Supón que se tienen dos tubos: El primero de ellos tiene una longitud de 100 cm y 0. 8 cm de diámetro, en tanto que el...