Flujo potencial
CI31A – MECÁNICA DE FLUIDOS Prof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS
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FLUJO POTENCIAL BIDIMENSIONAL
(continuación)
RESUMEN DE LA CLASE ANTERIOR
r r Si un flujo es irrotacional, ∇ × V = 0 , entonces existe una función escalar φ tal que V = ∇φ . Deeste modo para el caso 2-D se tiene que:
u= ∂φ ∂x v= ∂φ ∂y
La ecuación de continuidad para un fluido incompresible en términos de la función potencial φ está dada por:
∇2φ = 0
La función φ = constante se denomina línea equipotencial. Superposición: Por ser la ecuación de Laplace lineal, se cumple que si φ 1 y φ 2 son soluciones de la ecuación de Laplace, entonces φ = φ 1 + φ 2 también loes. De acá resulta que el campo de velocidades r r también se puede superponer, o sea si V1 deriva de φ 1 y V2 deriva de φ2 , entonces r r r V = V1 + V2 . En coordenadas polares:
1 ∂ ∂φ 1 ∂ 2 φ ∇ φ= =0 r + r ∂r ∂r r 2 ∂θ 2
2
ur =
∂φ ∂r
-1 -
uθ =
1 ∂φ r ∂θ
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Las líneas de corriente se definen como las tangentes al vector velocidad. DE proporción de triángulos resulta:
r V
dx dy u
v
u dx = v dy
Línea de corriente
udy − vdx = 0
Definamos una función ψ. Si la función es constante, entonces dψ = 0. O sea:
dψ =
De donde resulta que:
u=
∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y
∂ψ ∂y
v=−
∂ψ ∂x
Lafunción ψ se denomina función de corriente. En un flujo irrotacional se cumple que términos de la función de corriente resulta:
∇2ψ = 0
ωz =
∂u ∂v − = 0 . Al expresar la vorticidad en ∂y ∂x
Ecuaciones de Riemman:
u=
∂φ ∂ψ = ∂x ∂y
∂φ 1 ∂ψ = ∂r r ∂θ
v=
∂φ ∂ψ =− ∂y ∂x
1 ∂φ ∂ψ =− r ∂θ ∂r
En coordenadas polares:
ur =
uθ =
Las líneas equipotenciales y las de corrienteson perpendiculares entre sí. ψ2 q ψ1 El caudal (2D) que escurre entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia de las funciones de corriente: q = ψ 2 - ψ 1 .
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Determinación del campo de velocidades y condiciones de borde Paradeterminar el campo de velocidades de cualquier flujo debe resolverse la determinación de Laplace para φ o para ψ con las condiciones de borde adecuadas. Conocida φ (o ψ), se determina el campo de velocidades por simple derivación. Las condiciones de borde típica son: Condición de borde en el infinito:
r r x, y → ± ∞ ; V → V∞
Por ejemplo, si se desea conocer el campo de velocidades en torno a uncuerpo sumergido r en un flujo tal que V∞ = (U ,0 ) , las condiciones de borde serán:
x → ±∞ , ∀y ; u → U , v = 0
En términos de la función potencial x → ±∞ , ∀y ; En términos de la función de corriente:
∂ψ →U ∂y
∂φ →U , ∂x ∂ψ , =0 . ∂x
∂φ =0 ∂y
Condición de borde en una frontera sólida impermeable en reposo: r ˆ ˆ La velocidad normal a la frontera debe ser nula, o sea V ⋅ n = 0 ,donde n es la normal a la superficie. En términos de la función potencial, esta condición se escribe como:
ˆ ∇φ ⋅ n = ∂φ =0 ∂n
Para escribirla en términos de la función de corriente debemos recordar que la frontera es ˆ una línea de corriente. Si s es el vector tangente a la superficie que define la frontera, se tiene:
∂ψ =0 ∂s
o, lo que es lo mismo ψ = cte. a lo largo de la frontera.Conocido el campo de velocidades es fácil determinar la presión a partir de la ecuación de Bernoulli.
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EJEMPLOS DE FLUJOS POTENCIALES USUALES
FLUJO PARALELO UNIFORME φ = cte. y Consideremos un flujo uniforme paralelo al eje x con velocidad...
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