Flujo potencial

Notas de Investigaci´n 2006-2007 o

Flujo Potencial en 2-D. W. Angulo
Departamento de F´ ısica Decanato de Ciencias y Tecnolog´ ıa Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Barquisimeto, Venezuela

´ Indice
1 Formulaciones y discretizaciones variacionales. 1.0.1 Presentaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2 Espacios de Sobolev.2.0.2 Algunos ejemplos de problemas con valor en la frontera. 2.0.3 Discretizaciones variacionales. . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Construcci´n de los elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.1 Espacios locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Geometr´ locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıas 2.1.3 Formulaci´n variacional del problema de Stokes. . . . .o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 11 18 21 21 22 27

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1.0.1

Formulaciones y discretizaciones variacionales.
Presentaci´n. o

La aproximaci´n num´rica a problemas de valor en la fronterausando el MEF, tanto te´rica como computao e o cionalmente, requiere de una formulaci´n variacional adecuada. Entonces, en esta secci´n nos dedicaremos a o o encontrar la formulaci´n varicaional adecuada del problema de frontera planteado en t´rminos de las ecuaci´n o e o de Laplace ∆u = f, en donde ∆ = 2 es el operador Laplaciano, u una funci´n inc´gnita vector-evaluada a valor escalar y f una o ofunci´n conocida vector-evaluada a valor escalar. o Como bien sabemos, resolver un problema de frontera consiste en determinar una o m´s funciones que a satisfaga una ecuaci´n diferencial en un cierto dominio Ω ⊂ Rd , d = 2 o d = 3, y ciertas condiciones establecidas o sobre el contorno ∂Ω de este dominio. Muchos problemas de este tipo tienen la propiedad de que su soluci´n o minimiza un ciertofuncional, digamos J , definido sobre algun conjunto de funciones V (Ω), o, m´s generalmente, a es un punto estacionario de tal un funcional. As´ la resoluci´n de muchos problemas de valor en la frontera, ı, o con sentido f´ ısico, es equivalente a encontrar una funci´n en el espacio V (Ω) que haga a J estacionario; a este o tal problema es el que llamaremos formulaci´n variacional del problema devalor en la frontera. o En este orden de ideas, podemos decir entonces que muchos problemas de valor en la frontera representan las ecuaciones de equilibrio de un funcional J . Tal es el caso cl´sico de la f´ a ısica-matem´tica, en donde el modelado a matem´tico de fen´menos o situaciones es visto como un problema de optimizaci´n en el cual se minimiza el a o o funcional de energ´ asociado a talesfen´menos o situaciones. Al respecto, la elecci´n adecuada de los espacios ıa o o funcionales tanto infinito-dimensionales como los finito-dimensionales de aproximaci´n juega un rol de vital o importancia, pues las condiciones y restricciones que se imponen sobre el problema de valor en la frontera deben aparecer o bien de manera natural en la formulaci´n variacional o en tal espacio funcional; locual a veces o no es evidente partiendo directamente de una formulaci´n en t´rminos del funcional de energ´ o en su efecto o e ıa ¯ porque ´sta no refleja todas las condiciones y restriciones sobre el dominio de validez Ω = Ω ∪ ∂Ω del problema. e Para aclarar esto, partiremos de un problema gen´rico de valor en la frontera definido en un cierto dominio, y e

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W. Angulo

desglozaremos losaspectos te´ricos necesarios para plantear una formulaci´n variacional equivalente que a la o o vez sea adecuada para aproximar num´ricamente la soluci´n de tal problema; una extensi´n a nuestro problema e o o de estudio ser´ inmediata. a Sea, entonces, Ω un abierto de Rd con frontera ∂Ω, y consideremos el problema de valor en la frontera siguiente: Au = f en Ω (1) Bu = g sobre ∂Ω. La primera l´...