Flujo Variable En Lamina Libre

2.1. Introducción

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Capítulo 2. Flujo variable en lámina libre
2.1. Introducción

En este capítulo se presentan las ecuaciones del flujo variable del agua en lámina libre o ecuaciones de Saint Venant, ecuaciones que deben resolverse para la modelación de la propagación de avenidas en ríos (objeto de esta tesis). En la primera parte del capítulo se deducen las ecuaciones a partir de lasleyes físicas de conservación que rigen el flujo de un fluido en general. Particularizando a un fluido incompresible e isótropo, como es el agua, se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes para el movimiento instantáneo y de ellas se deducen, considerando variables medias en el tiempo, las ecuaciones de Reynolds. Estas serían las ecuaciones básicas que habría que resolver en el caso de flujotridimensional de agua. Su resolución exigiría una discretización tridimensional del dominio de estudio y el esquema numérico sería complejo pero sobretodo muy costoso computacionalmente. Como se ha comentado, la mayoría de las veces el flujo de agua en cauces naturales presenta unas características que permiten simplificar estas ecuaciones más generales y obtener resultados suficientemente precisoscon mucho menos coste. De las ecuaciones de Reynolds, integrando en la profundidad para eliminar en ellas la dimensión vertical, se obtienen las ecuaciones de Saint Venant bidimensionales, válidas cuando el flujo que se quiere representar tiene también este carácter bidimensional, con velocidades verticales pequeñas, pendientes del fondo del cauce suaves, y en general, las dimensiones horizontalespredominantes sobre la vertical. Gran parte de esta tesis trata la resolución de estas ecuaciones. A continuación de su deducción, en este capítulo se discuten los términos que aparecen en la forma más general de las ecuaciones de Saint Venant, y especialmente cómo se pueden aproximar y cuáles se pueden despreciar para simplificar las ecuaciones al máximo sin que dejen de representar lo mejorposible los fenómenos de propagación de avenidas en ríos que nos interesan. La siguiente simplificación es el paso a las ecuaciones de Saint Venant unidimensionales. Ecuaciones clásicas en hidráulica que muchas veces son suficientes para representar correctamente el movimiento no permanente en lámina libre en cauces, naturales o artificiales, debido a la marcada unidimensionalidad de éstos. Elobjetivo final es la resolución conjunta en una y dos dimensiones, utilizando la simplificación que consiga un mejor compromiso entre precisión y economía en cada zona de nuestro dominio. Las ecuaciones de Saint Venant forman un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, hiperbólico y cuasi-lineal. El estudio de este tipo de sistemas y sus soluciones, concretando para las ecuaciones deSaint Venant unidimensionales y bidimensionales, constituye la última parte de este capítulo. La teoría de las características permite obtener formas más sencillas de expresar los sistemas de ecuaciones, formas que quizás no sirvan directamente para la obtención de la solución, pero serán una gran ayuda a la hora de formular las condiciones de contorno necesarias en los esquemas numéricos y,sobretodo, para poner de manifiesto propiedades de los sistemas hiperbólicos y sus soluciones que permitirán, en los capítulos posteriores, obtener esquemas numéricos más eficientes. Se presentan las superficies características desde un punto de vista matemático, como aquellas superficies sobre las cuales el problema de valores iniciales no está bien definido: de esta manera su significado físico sehace patente enseguida como superficies de transmisión de información privilegiadas. Finalmente se hace hincapié en las posibles soluciones discontinuas de las ecuaciones de Saint Venant. En un cauce natural con flujo bidimensional, o incluso en el caso unidimensional, es probable que en alguna zona aparezca una discontinuidad en la solución (cambio de régimen, frente de onda). Aunque no es el...