Flujo

Aplicación a la mecánica de los fluidos

Redes de flujo

La red de flujo es un artificio usual para la determinación gráfica del esquema de líneas de corriente en el flujo irrotacional (Para entender el significado de rotacional de un campo vectorial
( rot
) tómese un disco arbitrariamente pequeño con centro en el punto “P” y con su eje en la dirección rot
en “P”.

“” que es lafrontera del disco, y se considera

I = #
• dr = #
• ds =

# #

§ = integral de línea recorre el perímetro del circulo

^T = vector tangente

donde:
es la tangente unitaria a ””. Como “n” (la normal unitaria del disco), y el rotacional de
están en la misma dirección, n · rot
> 0

Y por lo tanto el irrotacional, I > 0. Promediando sobre la frontera del disco, el valor
·
es,por tanto, positivo, y esto indica que el campo en la vecindad del punto “P” tiene en promedio una componente rotacional dirigida en el sentido positivo de “”.

rot

P



El campo, por consiguiente, gira con respecto a un eje paralelo al rot
. Cuando rot
= 0 no hay rotación neta.

En mecánica de fluidos la anulación del rotacional de velocidad rot(v) implica que los elementos delfluido no están en un estado de rotación. Tales fluidos se llaman IRROTACIONALES). En el flujo bidimensional dentro de los límites rectilíneos paralelos la distribución de velocidades es uniforme, por lo que convencionalmente se espacian las líneas de corriente a igual distancia (no - ETA) como muestra la figura.

Líneas de corriente

no no n o

no

Líneas equipotenciales

Red de flujode mallas cuadradas para un flujo entre limites rectilíneos paralelos

Entonces, pueden dibujarse otras líneas normales a las líneas de corriente y con la misma separación “no” con lo que se transforma una red de mallas cuadradas.

Estas líneas normales se llaman líneas equipotenciales.

La red de mallas cuadradas en una zona considerada de flujo uniforme, es la base para la construcción dela red de flujo en la zona subsiguiente de flujo no uniforme.

Se puede demostrar matemáticamente ( las ecuaciones básicas para el flujo bidimensional son

"2 + "2 = 0

"x2 "y2

y

"2 + "2 = 0

"x2 "y2

donde :

 = es la función potencial

 = es la función de flujo.

Estas 2 ecuaciones de Laplace junto con las condiciones de los límites definen la red de flujo paraunas condiciones dadas ).

que, cualquiera que sea el perfil de los limites, la red de flujo siempre estará compuesta de cuadrados. Aun mas dadas cualesquiera condiciones de los límites y del espaciado inicial, solamente hay una solución para la red de flujo. Sin embargo, como la teoría presupone un número infinito de líneas de corriente y solo puede ser convenientemente representado un númerofinito de ellas, las mallas reales en la zona de flujo no uniforme son solo aproximadamente cuadradas. En la practica, esto significa que los lados pueden ser curvilíneos aunque los ángulos tienen que ser siempre rectos.

En el espacio de 3 dimensiones, los conjuntos de nivel “” se llaman superficies equipotenciales; En dos dimensiones se llaman Líneas Equipotenciales.

Si ““ representa latemperatura, la palabra equipotencial se remplazará por Isoterma; Si “” representa la presión se emplea la palabra Isobara.

Aplique el método de variables separables para resolver las ecuaciones básicas para el flujo bidimensional.

La solución de la ecuación diferencial parcial de 2do orden para la función potencial “”:

Establezcamos la llamada solución hipótesis que verificará a la ecuacióndiferencial parcial (I).

"2 + "2 = 0 ………I

"x2 "y2

( x, y ) = X(x) Y(y)

" = X`(x) Y(y) " = X(x) Y`(y)

"x "y

"2 = X``(x) Y(y) "2 = X(x) Y``(y)

"x2 "y2

“"2” “"2”

Reemplazando las expresiones "x2 y "y2 en la ecuación (I).

X``(x) Y(y) + X(x) Y``(y) = 0 ………(II)

Obsérvese que la ecuación (II) las variables no están separados.

Para hacer la separación...