Flujo

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile o
Facultad de F´ ısica FIS1532 Electricidad y Magnetismo

AYUDANTIA 20 :Ley de Inducci´n de Faraday o
Fabi´n C´diz C. a a facadiz@ing.puc.cl ´ EL POTENCIAL VECTORIAL MAGNETICO Vimos anteriormente que el c´lculo de los campos el´ctricos se simplific´ mucho con la a e o introducci´n del potencial electrost´tico. La posibilidad de hacer esta simplificaci´n o a oresult´ de la anulaci´n del rotor del campo el´ctrico. o o e ×E =0→E =− V (1)

Para el caso del campo magn´tico, su rotor no es nulo, de hecho, por la forma diferencial de e la ley de ampere: × B = µ0 J (2)

Por otro lado, es una observaci´n experimental que todos los campos magn´ticos pueden o e describirse en funci´n de una distribuci´n de corriente. Es decir, B siempre tiene la forma : o oB(r) = Esto implica que siempre: ·B =0 Es decir, el campo magn´tico tiene siempre divergencia nula, incluso para campos que e dependen del tiempo. Esta es la segunda ecuaci´n de Maxwell e implica que no hay polos o magn´ticos aislados. e Usando el teorema de la divergencia: · Bdv =
V S

µ0 4π

V

J(r ) × (r − r ) dv |r − r |3

(3)

(4)

B · dS = 0

(5)

Esto es, la integral de flujo del campomagn´tico sobre cualquier superficie cerrada es e siempre cero, esto significa que las l´ ıneas de campo magn´tico son siempre cerradas. e En resumen, si bien el rotor de B no es nulo, s´ lo es su divergencia, y entonces, podemos ı escribir: B= y A es el potencial vectorial magn´tico. e ×A (6)

Es f´cil ver que esto ultimo es consistente con la segunda ecuaci´n de Maxwell, ya que la a ´ o divergencia de unrotor es siempre nula. Tambi´n debe satisfacerse la ley de ampere, esto es: e ×B = Ahora utilizamos la identidad vectorial: × ×A= ·A−
2

×

× A = µ0 J

(7)

A · A = 0, y

(8)

Podemos imponer a nuestra conveniencia que la divergencia de A sea cero, entonces: × As´ ı: ×B =− de donde, finalmente
2 2

×A=−

2

A

(9)

A = µ0 J

(10)

A = −µ0 J

(11)

Esto nos dice que cada componente del vector Asatisface la ecuaci´n de Poisson. o La soluci´n es: o A(r) = µ0 4π J(r ) dv |r − r | (12)

V

Claramente es una expresi´n un tanto m´s sencilla que la del campo magn´tico, sin o a e embargo, no debe quedar la falsa impresi´n de que el potencial vectorial es tan util como el o ´ potencial electrost´tico. Debe observarse esencialmente que no hay casos en que A pueda a calcularse en una forma cerradasencilla. Como ejemplo, el alambre largo y recto da un resultado infinito para A cuando se utiliza la ecuaci´n (12). El c´lculo para la espira circular contiene integrales el´ o a ıpticas, y as´ sucesivamente. ı Debe tambi´n observarse que la evaluaci´n del potencial vectorial en un solo punto no es e o util, por que el campo magn´tico se obtiene por diferenciaci´n, de hecho, se obtiene del rotor ´ eo de A,lo que complica a´n m´s las cosas. u a El uso principal del potencial vectorial est´ en aproximaciones en donde se desea obtener el a campo de circuitos a grandes distancias, o en problemas de radiaci´n electromagn´tica. o e En resumen, ya hemos visto las 2 primeras ecuaciones de Maxwell, que la cumplen no s´lo o los campos est´ticos, sino tambi´n los que var´ en el tiempo: a e ıan ·D =ρ ·B=0 y en t´rminos de los potenciales, los campos se escriben como: e E=− V (15) (13) (14)

2

B=

×A

(16)

Por ultimo, podemos utilizar el teorema de Stokes de la siguiente forma: ´ A · dl =
C S

(

× A) · dS =
S

B · dS

(17)

Donde S es cualquier superficie cuyo contorno es C. En otras palabras, el flujo magn´tico es e igual para cualquier par de superficies que tengan el mismo contorno. ´ LEY DEINDUCCION DE FARADAY Los campos el´ctricos y magn´ticos que hemos considerado hasta ahora han sido producidos e e por cargas estacionarias y cargas en movimiento (corrientes), respectivamente. Imponiendo un campo el´ctrico en un conductor se origina una corriente que a su vez genera e un campo magn´tico. e Uno podr´ entonces preguntarse si un campo el´ctrico puede o no ser producido por un ıa...