Flujos Viscosos

7. Flujos viscosos

7. FLUJOS VISCOSOS
Ecuación de Navier Stokes
Trataremos ahora flujos en los cuales los efectos de la viscosidad son importantes, pero limitándonos al caso incompresible y con densidad uniforme. Por lo tanto vamos a suponer que ∇ ⋅ u = 0 y ρ = cte.. La ecuación de movimiento es entonces la ecuación de Navier-Stokes:
du ∇p = F− + ν ∇ 2u dt ρ

(7.1)

donde ν ≡ η / ρindica la viscosidad cinemática. Vamos a suponer que la fuerza de volumen es conservativa, de modo que F = −∇ϕ siendo ϕ el potencial correspondiente. La (7.1) muestra que las fuerzas de inercia y viscosas equilibran la suma de la fuerza debida al gradiente de la presión más la fuerza de volumen ρF. Sin ulterior pérdida de generalidad podemos definir una presión modificada como
P = p + ρϕ

(7.2)y entonces la ecuación de Navier-Stokes (7.1) queda de la forma

∂u ∇P + (u ⋅ ∇)u = − + ν∇ 2 u ∂t ρ

(7.3)

como si no existieran fuerzas de volumen. Esto equivale a agregar a la presión una presión ficticia ρϕ. Dado que hemos supuesto que ρ es constante, esta presión ficticia es un dato del problema, por lo tanto es suficiente resolver la ecuación (7.3) (lo que formalmente es equivalente asuponer que F = 0), con tal de interpretar P de acuerdo con la (7.2).

Ecuación de la vorticosidad
Del mismo modo que procedimos para obtener la ecuación de la vorticosidad a partir de la ecuación de Euler (Cap. 5), tomamos el rotor de la ecuación de Navier-Stokes. Usando la ec. (5.10) y tomando en cuenta que el operador rotor conmuta con el operador Laplaciano, resulta

∂ω + ∇ × ( ω × u ) =ν∇ 2 ω ∂t

(7.4)

Si ahora usamos la identidad vectorial (5.28) y la condición ∇ ⋅ u = 0 podemos escribir la (7.4) como

∂ω + (u ⋅ ∇)ω = (ω ⋅ ∇)u + ν∇ 2ω ∂t

(7.5)

El primer término del miembro derecho de la (7.5) expresa, como ya sabemos, el congelamiento de la vorticosidad, y el segundo término (que no aparece para flujos ideales) nos dice que la vorticosidad difunde a través delfluido debido a la viscosidad. Además de esta diferencia, podemos también observar que la (7.5) difiere de la (5.29) porque ahora se ha supuesto que la densidad es constante. 126

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Difusión de la velocidad y la vorticosidad
Para apreciar el efecto del término ν∇ 2ω , consideremos el siguiente problema: se tiene un fluido que ocupa el semiespacio y > 0 , limitado por una paredrígida en el plano y = 0 . Para t < 0 , el fluido y la pared se encuentran en reposo. En el instante t = 0 la pared se pone en movimiento en la dirección x, con una velocidad

u0 = u0 ex = cte , t ≥ 0

(7.6)

Claramente la coordenada z es ignorable, y la única componente no nula de la velocidad del fluido es la componente x, que depende sólo de y y de t:

u = u( y, t )ex
Por lo tanto, laúnica componente no nula de la vorticosidad es la componente z:

(7.7)

ω = ω ( y, t )ez = −(∂u / ∂y)ez

(7.8)

De la (7.3) vemos también que debemos tener ∇P = 0, es decir P = cte. dado que hemos supuesto que el fluido está en reposo para t < 0 . Por lo tanto, sin perder generalidad, podemos suponer que la presión modificada P es nula (si bien podemos tener p ≠ 0 , la fuerza debida a lapresión debe estar equilibrada por la gravedad). Por lo que se acaba de ver, los operadores u ⋅ ∇ y ω ⋅ ∇ en la ecuación de Navier-Stokes (7.3) y en la ecuación de la vorticosidad (7.5) son nulos, y esas ecuaciones se reducen a

∂u ∂ 2u =ν 2 ∂t ∂y

y

∂ω ∂ 2ω =ν 2 ∂t ∂y

(7.9)

o sea, son ecuaciones idénticas. Ecuaciones del tipo (7.9) conocen como ecuaciones de difusión1. Veremos ahora comose construye la solución de nuestro problema, comenzando por la ecuación de la velocidad. Puesto que u0 es la velocidad característica del problema, la solución debe ser de la forma

u = u0 f ( y, t, ν )

(7.10)

donde f es una función sin dimensiones de las demás variables y parámetros del problema. Por lo tanto, los argumentos de f deben ser también adimensionales. Pero como no...