Flujos
Páginas: 14 (3251 palabras)
Publicado: 24 de octubre de 2015
Introducci´on al M´etodo de los Elementos Finitos.
Flujo incompresible.
Mario Storti
Centro Internacional de m´etodos Computacionales en Ingenier´ıa
http://venus.arcride.edu.ar/CIMEC
20 de septiembre de 2002
´Indice General
1
Cap´ıtulo 1
Flujo incompresible
1.1
Definici´
on de flujo incompresible
Un flujo incompresible es ´aquel donde el fluido no se comprime,como es t´ıpicamente el caso de los
l´ıquidos, pero tambi´en puede pasar que bajo ciertas condiciones un fluido que es compresible (como
los gases en general) no manifiesta efectos de compresibilidad para un patr´
on o r´egimen de flujo en
particular. En ese caso se le asigna a la propiedad de flujo compresible o incompresible al patr´
on de
flujo. Para los fluidos compresibles, puede demostrarseque los efectos compresibles van con el n’umero
de Mach al cuadrado, es decir que la variaci´
on relativa de la densidad
∆ρ
= O(M 2 )
ρ
donde
(1.1)
u
(1.2)
c
es el n´
umero de Mach, u es la velocidad del fluido y c es la velocidad del sonido. Podemos decir
entonces que el flujo es compresible si el n´
umero de Mach es menor que un cierto valor, digamos 0.1.
Por ejemplo, un auto a 100 Km/h enatm´osfera est´andar posee un Mach de approx. 0.1, con lo cual
en esas condiciones podemos considerar que el flujo es incompresible.
Es de notar que si las variaciones de densidad son provocadas por otros efectos que no sean la
presi´on mec´anica como la dilataci´on t´ermica, expansi´on solutal (p.ej. salinidad), etc... entonces
el patr´
on de flujo puede considerarse (con respecto a los efectos sobrelos algoritmos num´ericos)
incompresible, a´
un si la densidad resulta no ser constante ni espacialmente ni en el tiempo. El
t´ermino compresible/incompresible se aplica a las variaciones de densidad producidad exclusivamente
por efecto de la presi´on.
Si bien en principio uno podr´ıa pensar que la incompresibilidad es una ventaja, ya que permite
eliminar (en muchos casos) una variable (ladensidad), desde el punto de vista num´erico suele traer
m´as problemas que soluciones.
M=
2
1.2
Ecuaciones de Navier-Stokes incompresible
Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles son
∂u
1
+ (u · ∇)u = − ∇p + ν∆u
∂t
ρ
∇·u=0
(1.3)
(1.4)
La primera es la “ecuaci´
on de momento”, mientras que la segunda es la “ecuaci´
on de continuidad”
o “balance de masa”. Es importante notar que en el l´ımitede “flujo reptante” o “flujo de Stokes”
(es decir, despreciando el t´ermino convectivo), las ecuaciones resultantes son exactamente iguales a
las de elasticidad lineal incompresible isotr´opica, si reemplazamos el vector de velocidad por el de
desplazamiento y la viscosidad por el m´
odulo de elasticidad.
Las siguientes observaciones nos permiten adelantar el problema ocasionado por laincompresibilidad:
• La condici´
on de incompresibilidad no tiene un t´
ermino temporal: Esto quiere decir
que “la presi´on no tiene historia”. El estado del fluido s´olo st´a dado por la velocidad. Tambi´en
podemos decir que la ecuaci´on de continuidad aparece como una restricci´on, m´as que como una
ecuaci´on de evoluci´on. La presi´on, pasa a ser el multiplicador de Lagrange asociado.
• Las ecuacionesson no locales: Esto es m´as f´
acil de ver en el caso de elasticidad. Se sabe
bien que en el caso de elasticidad compresible el problema es el´ıptico, de manera que hay una
cierta localidad de los efectos. Esto se pierde en el caso incompresible. Por ejemplo, consideremos un s´olido incompresible que ocupa una regi´on Ω (ver figura ??). Las condiciones son de
desplazamiento nulo en toda lafrontera, menos en una cierta parte Γ1 donde se aplica un cierto
desplazamiento uniforme, y otra cierta parte Γ2 donde las condiciones son libres, es decir tracci´
on
nula. En el caso compresible, el operador es el´ıptico, local, y la influencia del desplazamiento
impuesto sobre el dominio Γ1 en el dominio Γ2 depender´a de la distancia entre ambas regiones,
sus tama˜
nos relativos, etc... Si el tama˜...
Flujo incompresible.
Mario Storti
Centro Internacional de m´etodos Computacionales en Ingenier´ıa
http://venus.arcride.edu.ar/CIMEC
20 de septiembre de 2002
´Indice General
1
Cap´ıtulo 1
Flujo incompresible
1.1
Definici´
on de flujo incompresible
Un flujo incompresible es ´aquel donde el fluido no se comprime,como es t´ıpicamente el caso de los
l´ıquidos, pero tambi´en puede pasar que bajo ciertas condiciones un fluido que es compresible (como
los gases en general) no manifiesta efectos de compresibilidad para un patr´
on o r´egimen de flujo en
particular. En ese caso se le asigna a la propiedad de flujo compresible o incompresible al patr´
on de
flujo. Para los fluidos compresibles, puede demostrarseque los efectos compresibles van con el n’umero
de Mach al cuadrado, es decir que la variaci´
on relativa de la densidad
∆ρ
= O(M 2 )
ρ
donde
(1.1)
u
(1.2)
c
es el n´
umero de Mach, u es la velocidad del fluido y c es la velocidad del sonido. Podemos decir
entonces que el flujo es compresible si el n´
umero de Mach es menor que un cierto valor, digamos 0.1.
Por ejemplo, un auto a 100 Km/h enatm´osfera est´andar posee un Mach de approx. 0.1, con lo cual
en esas condiciones podemos considerar que el flujo es incompresible.
Es de notar que si las variaciones de densidad son provocadas por otros efectos que no sean la
presi´on mec´anica como la dilataci´on t´ermica, expansi´on solutal (p.ej. salinidad), etc... entonces
el patr´
on de flujo puede considerarse (con respecto a los efectos sobrelos algoritmos num´ericos)
incompresible, a´
un si la densidad resulta no ser constante ni espacialmente ni en el tiempo. El
t´ermino compresible/incompresible se aplica a las variaciones de densidad producidad exclusivamente
por efecto de la presi´on.
Si bien en principio uno podr´ıa pensar que la incompresibilidad es una ventaja, ya que permite
eliminar (en muchos casos) una variable (ladensidad), desde el punto de vista num´erico suele traer
m´as problemas que soluciones.
M=
2
1.2
Ecuaciones de Navier-Stokes incompresible
Las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles son
∂u
1
+ (u · ∇)u = − ∇p + ν∆u
∂t
ρ
∇·u=0
(1.3)
(1.4)
La primera es la “ecuaci´
on de momento”, mientras que la segunda es la “ecuaci´
on de continuidad”
o “balance de masa”. Es importante notar que en el l´ımitede “flujo reptante” o “flujo de Stokes”
(es decir, despreciando el t´ermino convectivo), las ecuaciones resultantes son exactamente iguales a
las de elasticidad lineal incompresible isotr´opica, si reemplazamos el vector de velocidad por el de
desplazamiento y la viscosidad por el m´
odulo de elasticidad.
Las siguientes observaciones nos permiten adelantar el problema ocasionado por laincompresibilidad:
• La condici´
on de incompresibilidad no tiene un t´
ermino temporal: Esto quiere decir
que “la presi´on no tiene historia”. El estado del fluido s´olo st´a dado por la velocidad. Tambi´en
podemos decir que la ecuaci´on de continuidad aparece como una restricci´on, m´as que como una
ecuaci´on de evoluci´on. La presi´on, pasa a ser el multiplicador de Lagrange asociado.
• Las ecuacionesson no locales: Esto es m´as f´
acil de ver en el caso de elasticidad. Se sabe
bien que en el caso de elasticidad compresible el problema es el´ıptico, de manera que hay una
cierta localidad de los efectos. Esto se pierde en el caso incompresible. Por ejemplo, consideremos un s´olido incompresible que ocupa una regi´on Ω (ver figura ??). Las condiciones son de
desplazamiento nulo en toda lafrontera, menos en una cierta parte Γ1 donde se aplica un cierto
desplazamiento uniforme, y otra cierta parte Γ2 donde las condiciones son libres, es decir tracci´
on
nula. En el caso compresible, el operador es el´ıptico, local, y la influencia del desplazamiento
impuesto sobre el dominio Γ1 en el dominio Γ2 depender´a de la distancia entre ambas regiones,
sus tama˜
nos relativos, etc... Si el tama˜...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.