FM03Tema1

INTRODUCCION AL CALCULO VARIACIONAL
M. Santander
Departamento de F´ısica Te´
orica, Universidad de Valladolid
Versi´
on 3. Original 1 Marzo 1998, basado en notas de M. Gadella. Revisi´
on y adici´
on
de la secci´
on sobre superficies m´ınimas 22 Febrero 2000. Revisi´
on y adici´
on del m´etodo
heur´ıstico siguiendo a Feynmann 13 Febrero 2001. Correcciones de detalle y erratas 20
Febrero 2002, 27Febrero 2002, 14 Febrero 2003

Problemas Variacionales en F´ısica
El principio de m´ınima acci´
on.
En Mec´
anica cl´
asica, cuando una part´ıcula se mueve bajo la acci´on de un
potencial V (x), el movimiento real es el dado por las ecuaciones de Newton, que
expresan la aceleraci´on de la part´ıcula en t´erminos de las fuerzas. Cuando las
fuerzas derivan de un potencial V (x), el movimiento real t→ x(t) satisface la
ecuaci´on diferencial:
∂V (x(t))
d2 x(t)
=−
.
m
2
dt
∂x
cuya soluci´
on determina el movimiento real que sigue una part´ıcula que en un
instante inicial t1 sale del punto x1 , se mueve bajo la acci´on del potencial, y llega
en un instante final t2 al punto x2 .
Una pregunta interesante es: ¿Podemos singularizar el movimiento real dado
por las soluciones de esta ecuaci´on, entretodos los movimientos que la part´ıcula
podr´ıa seguir, para ir desde el punto inicial x1 en el instante t1 al punto final x2
en el instante t2 ?
La respuesta a esta pregunta es un principio b´
asico en F´ısica, que en Mec´anica
se denomina principio de Hamilton, o principio de m´ınima acci´on. Este principio
caracteriza a los movimientos reales entre todos los movimientos imaginables que
llevar´ıana la part´ıcula del estado inicial (posici´
on x1 en el instante t1 ) al estado
final (posici´
on x2 en el instante t2 ), ambos dados.
La caracterizaci´on dada por el principio de Hamilton asocia una cantidad,
denominada acci´
on a cada movimiento imaginable. La acci´
on es una cantidad de
naturaleza bastante diferente a las cantidades que usualmente describen el estado
de la part´ıcula, comoposici´on y/o velocidad. A diferencia de ellas, la acci´
on no
se asocia al estado, sino a la historia completa de la particula entre dos instantes
inicial y final. Para cada movimiento imaginable, descrito por t → x(t) con las
on de ese movimiento se define como:
condiciones x(t1 ) = x1 , x(t2 ) = x2 , la acci´
t2

S[x(t)] =
t1

1
m
2

dx(t)
dt

2

− V (x(t)) dt
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1

´lculoVariacional
Ca

2002/2003

2

El principio de m´ınima acci´
on dice: entre todos los movimientos imaginables, la propiedad que distingue al movimiento real es que el valor de la
acci´
on S[x(t)] es menor para el movimiento real que para cualquier otro.
¿Cu´al es la relaci´on entre este principio y la forma newtoniana de plantear las
ecuaciones del movimiento? Resulta que ambas maneras de describir elmovimiento
son equivalentes. Para verlo, necesitamos abordar el problema de la b´
usqueda de
la funci´
on x(t) con las condiciones requeridas, que minimice el valor de la acci´
on.
No se trata de un problema ordinario de m´ınimo, ya que la acci´
on depende del
movimiento como un todo, esto es, depende de la funci´
on x(t).
Principio de Fermat.
´
Seg´
un la Optica
Geom´etrica, la luz se propaga a lolargo de rayos. Entre todos
los rayos posibles que unen dos puntos dados, ¿cu´
al es el escogido realmente por la
luz? En la antig¨
uedad cl´
asica se observ´o que en ciertas circunstancias la luz viaja
a lo largo del camino geom´etricamente m´as corto entre dos puntos extremos A, B.
•

Ejercicio 1. Derivar la ley de igualdad de ´
angulos de incidencia y reflexi´
on para la
luz propag´
andose en unmedio homog´eneo, a partir de la exigencia de que la longitud
del camino recorrido por la luz entre dos puntos dados A, B pasando por un espejo, es
la m´ımima posible. (Comentario: en realidad, este problema puede resolverse sin hacer
uso siquiera del c´
alculo ordinario de m´
aximos y m´ınimos, siempre que admitamos que el
camino de longitud m´ınima entre dos puntos (sin condiciones adicionales)...