focumento

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´
aticas
C´
alculo Diferencial: Raz´
on de cambio
Departamento de Matem´
aticas
Octubre 13, 2014
Nombre:

Carrera:

Profesor:

RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS
El tema que nos compete tratar es las razones de cambio relacionadas. Hasta ahora hemos abordado el problema de
determinar el cambio instant´
aneode una variable y en funci´on del cambio instant´aneo de otra variable x, variables que est´
an
relacionadas mediante un modelo funcional y = f (x).
Con mucha frecuencia ocurre en las aplicaciones f´ısicas en Ingenier´ıa, que conocemos alguna relaci´on entre ciertas cantidades,
y la tasa de cambio de una de estas cantidades. El objetivo es encontrar la tasa de cambio desconocida de la otracantidad u
otras cantidades. Esta situaci´
on se denomina un problema de tasas de cambio relacionadas. En muchas de estas situaciones
problema requerimos de alg´
un conocimiento geom´etrico o f´ısico para poder establecer una ecuaci´on que relacione las cantidades
involucradas para poder establecer una ecuaci´
on que relacione las correspondientes tasas de cambio. Es usual que ncesitemos dela derivaci´
on impl´ıcita para lograr la ecuaci´
on derelaci´on entre las razones de cambio.
A continuaci´
on vamos a presentar una variedad de situaciones de tasas de cambio relacionadas, con el prop´osito de que sirvan
como gu´ıa de aprendizaje.
Ejemplo 1. Supongamos que estamos inflando un bal´
on, y que sabemos que el radio del bal´
on se incrementa con una rapidez de
0.1m/s.
A)Hallar la tasa de cambio (rapidez) del volumen del bal´
on con respecto al tiempo.
B) Hallar la tasa de cambio (rapidez) del volumen del bal´
on con respecto al tiempo, en el instante en que el radio mide 0.16 m.

Definir variables:
Como el problema implica el volumen de un bal´
on, que supondremos esf´erico, entonces requriremos del radio y del volumen
del bal´
on.
r(t): radio del bal´on a los t segundos
V (t): volumen del bal´
on a los t segundos
Determinar la informaci´
on conocida (datos):
dr
= 0.1 m/s
dt
Determinar la informaci´
on desconocida o pedida en el problema (inc´
ognitas):
dV
dt

1 de 8

Establecer ecuaci´
on que relacione las variables:
V (t) =

4
π(r(t))3
3

Establecer ecuaci´
on que relacione las tasas de cambio:
dV
4
dr
dr
=π3(r(t))2 ·
= 4π(r(t))2 ·
dt
3
dt
dt
Hallar el valor de la inc´
ognita:
A)
dV
= 4π(r(t))2 · 0.1 = 0.4π(r(t))2
dt
Observamos que la tasa de cambio (rapidez) con la cual el volumen del bal´on cambia, depende sobre el valor del radio en
que inst´
ante de tiempo.
Podemos afirmar que el volumen del bal´
on se incrementa con una rapidez que es mayor (de orden cuadr´
atico) que la
rapidezcomo se incrementa el radio.
B)
dV
= 0.4π(0.16))2 = (0.4π)(0.0256) = 0.01024π ≈ 0.0322m3 /s
dt
Interpretamos este resultado diciendo que en el instante en que el radio alcanza una longitud de 0.16m, el volumen se
incrementa con una rapidez de 0.0322 metros c´
ubicos por segundo.
Ejemplo 2. Una escalera de 13 pies de longitud est´
a recostada contra una pared vertical (ver ilustraci´on) cuando Jack empieza
a halar la base de la escalera sobre el piso horizontal, alej´
andola de la pared con una rapidez de 0.5 pies/s. Qu´e tan r´
apido se
desliza sobre la pared el extremo superior de la escalera en el inst´
ante en que el extremo inferior de la escalera se encuentra a 5
pies de la pared?

Este es un problema de razones de cambio relacionadas porque involucra la raz´on(rapidez) con que el extremo inferior de la
escalera se desliza en el piso y se pregunta la rapidez con la que el extremo superior de la escalera se desliza sobre la pared.
Definir variables
Sean:
x: la distancia de separaci´
on del extremo inferior de la escalera a la pared.
y: la distancia que se ha deslizado el extremo superior de la escalera en la pared.
13: longitud de la escalera....