folder mate parte 2





























1. RESEÑA HISTÓRICA
Los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal. En matemáticas los números reales influyen tanto en números racionales como a los números irracionales, aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria tiene infinitas cifras decimales.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzo mucho aunque carecía de una baserigurosa, ya que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando como expresiones como pequeño, límite, esto llevo unas series de problemas lógica que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa de la nueva matemática.















Los números reales pueden ser expresados por medio de puntos en el eje numérico.







2. LOS NÚMEROS REALES EN UN CAMPOAxiomas de Igualdad
Propiedad reflexiva a = a
Propiedad simétrica si a = b => b = a
Propiedad transitiva si a = b y b = c => a = c
Propiedad de la suma de igualdad si a = b y c = c => a + c = b + c
Propiedad multiplicativa si a = b y c = c =>a . c = b .c

Axiomas de la suma
1.- Axiomas de clausura (Ɐ a ,b ЄR) (ᴟ CЄR) (a + b = c)
2.- Asociativa (Ɐ ay b, c ЄR) [(a + b) + c = a + (b +d)]
3.- Conmutativa (Ɐ a, b ЄR) ( a+ b = b + a)
4.- Idéntica Aditivo (Ɐ a ЄR) (ᴟ x = 0) (a + 0 = a)
5.- Inversa Aditivo (Ɐ a ЄR) [ᴟ (- a) ЄR] [a + (- a) = 0]

El conjunto que cumpla con los axiomas de clausura, idéntico adictivo e inverso aditivo forma una estructura algebraica llamada grupo, y si cumple con el axioma de conmutabilidad se llama grupoconmutativo abeliano.

Axiomas del producto
1. Clausurativa (Ɐ a, b, c ЄR) (ᴟ c ЄR) (a . b = c)
2. Asociativa (Ɐ a, b ,c ЄR) [a (b c) = (a b) c]
3. Conmutatividad (Ɐ a, b ЄR) (a . b = b . a)
4. Idéntico Multiplicativo (Ɐ a ЄR) (ᴟ x = 1) (a . 1 = 1 . a)
5. Inverso Multiplicativo (Ɐ a ЄR) (ᴟ x = 1/a) [a (1/a) = (1/a) a]

Los reales forman un grupo ya que cumplen con los axiomas de clausura,asociatividad, idéntico multiplicativo, o inverso multiplicativo, y si cumple con el axioma de conmutatividad forma un grupo abeliano.
Este axioma relaciona la suma y la multiplicación. Los números reales cumplen con los axiomas anteriores, por lo que constituyen una estructura algebraica llamada campo.

Axiomas de orden
(Ɐ x, y ЄR) (x + y) ЄR
x Є R v – x ЄR+ v x = 0
0 Ɇ R

Los símbolos querepresentan las relaciones de orden son:
≥ Mayor o igual que > mayor que
≤ Menor o igual que < menor que

x > y ---- (x - y) ЄR ֗
x > y ---- y < x

LEY DE TRICOTOMIA
ʉ x, y, ЄR
x > y v x < y v x = y
x > y ↔ (x - y) ЄR ֗
x ˂ y ↔ (y- x) ЄR ֗
x = y ↔ (x - y) = 0

LEY DE TRANSITIVIDAD
ʉ x, y, z ЄR
x < y٨ y < z → x < z
x > y ٨ y > z→ x > z

LEY DE REFLEXIVIDAD
ʉ x ЄR
x = x

De las propiedades de los R ֗ se puede demostrar las siguientes consecuencias:

1.- si a < b, b < c → a < c
2.- si a < b → a + c < b + c
3.- si a < b y c > 0 → a . c 4.- si a < b y c < 0 → a . c >b .c
5.- si a < 0 y b < 0 → a . b> 0
6.- si a > 0 y b > 0 → a . b< 0
7.- sea a ≠ 0, entonces a² > 0
8.- 1 > 0, 1 ЄR ֗
9.- si a > 0, → 1/a >0
10.- si 0 < a y a < b → 0 < 1/b < 1/a
11.- si 0 ≤ E, para todo E > 0 → a = 0

Nota: De las 11 propiedades la 8 es la más importante, porque asegura que los R ֗ son diferentes de un conjunto vacío.


3. INTERVALOS
El conjunto de todos los números reales que se encuentran entre A y B.
Formalmente se puede dar la siguiente definición:
Sean a, b ЄR tales que a < b, entonces:


1. INTERVALOCERRADO.
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de las x ЄR tales que a ≤ x ≤ b se nota:
[ a, b ] = {x ЄR/a ≤ x ≤ b}

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a b





2. INTERVALO ABIERTO.
Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de las x ЄR tales que a < x < b se nota:
]a, b [ = {x ЄR/a < x < b}

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