Folleto Calculo 1

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

MA-1001 CÁLCULO I

LIC. LEINER VÍQUEZ GARCÍA

APUNTES PARA EL CURSO DE CÁLCULO I

LÍMITES DE FUNCIONES
DEFINICIÓN:
Decimos que el límite de f (x) cuando “x” tiende a “c” es igual a ”L” si a medida que los valores de “x” se
aproximan a “c”, ya sea por la derecha o por la izquierda , entonces los valores de f (x) se aproximan a “L” .
Esto se escribe

limf x  = L

lo que también se puede escribir como f (x)  L cuando x  c.

xc

Veamos un ejemplo utilizando una tabla de valores. Consideremos la función

f x =

qué valor se aproxima f (x) si x se aproxima a 2?

x2 −4 , ¿a
x−2

2
x

1,5

1,9

1,99

1, 999

2, 001

2,01

2,1

2,5

y

3,5

3,9

3,99

3,999

4, 001

4,01

4,1

4,5

4
Lo que enla gráfica se vería así:

4

2
Observe que aunque la función no está definida para x = 2 (restricción), para valores muy cercanos a 2, tanto
a la izquierda (valores menores que 2) como a la derecha (valores mayores que 2), las imágenes se aproximan
a 4. Nótese que el 4 no es imagen de 2. Esto se representa mediante los límites laterales
(límite lateral izquierdo) y

lim f x  = 4
x2

−

(límite lateral derecho). Al coincidir ambos, decimos que 4 es el

límite de f(x) cuando x tiende a 2, lo que simbólicamente se representa así:

lim f  x = 4
x2

lim f  x  = 4

x2

o también

2

lim
x2

x −4
= 4
x−2

2

EXISTENCIA DEL LÍMITE
Si f es una función y si “c” y “L” son números reales, decimos que

lim f x  = L

si y sólo si:

xclim f  x = lim f  x  = L
−



xc

xc

EJEMPLO.
Considere la función f (x)=

2 x + 3 , si x < -1
5
, si x = -1
2
x 1 , si x > -1

¿Qué sucede cuando los valores de x se aproximan a -1?

x

-1, 2

-1, 1

-1, 01

-1, 001

-1

-0, 999

-0, 99

-0,9

-0,8

y

0,6

0,8

0,98

0, 998

5

1, 998

1,98

1,81

1,64

?
5
2
1
-1
Observeque cuando los valores de x se aproximan a -1 por la izquierda (valores menores que -1), las
imágenes se aproximan a 1.
Lo anterior se puede representar como un límite lateral izquierdo
lim f  x = 1 . A la vez, cuando los valores de x se aproximan a -1 por la derecha (valores mayores
x −1−

que -1), la imágenes se aproximan a 2.
Esto se representan con el límite lateral derecho
lim f x= 2 . Lo anterior se cumple independientemente de que la imagen de -1 sea 5, pues f (-1)=5
x −1

Sin embargo, al ser diferentes los límites laterales, no podemos decir que
que un límite exista, los límites laterales deben ser iguales.

lim f  x
x −1

exista. Así para

3
Ejemplo. De acuerdo con los datos de la figura en la que aparece representada la función f (x), determine (siexiste) el valor de cada uno de las imágenes y de los límites que se le piden. En caso que una imagen o un
límite no esté definido, escriba en el espacio subrayado NO EXISTE.
y

4
3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1
-2
-3
-4

lim f x  =_______

f (-3) = _________

lim f x  =__________

−



x −3

x −3

lim f  x =_______

f (-2) =_________

lim f  x =__________

−



x −2

x −2

lim f x  =_______

f(-1) = _________

lim f x  =__________

−



x −1

x −1

lim f x  =_______

f(0) = _________

lim f x  =__________

−



x 0

x 0

lim f x =_______

f(1) =_________

lim f x  =__________

−

−



x 3

x 3

lim f  x =_______

lim f  x=__________

−



x 4

x 4

lim f x  =_______

lim f x  =__________

−

Calcule los siguientes límites AL INFINITO:

lim f  x =__________



x 2

lim f x  =_______

x 5

x 0

lim f  x =__________



x 2

f(5) = _________

lim f  x =__________
lim f x  =__________

x 1

lim f x  =_______

f(4) =_________

lim f  x =__________

x...