Folleto + Inducción +Sucesiones + Y + Series

Inducci´n matem´tica.
o
a
Sucesiones y series
Jeffry Chavarr´ Molina
ıa
Natalia Rodr´
ıguez Granados
7 de agosto de 2012

2

´
Indice general

1. Inducci´n y recursividad
o

5

1.1. Proposiciones l´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

5

1.2. Inducci´n matem´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a

6

1.2.1. ¿Por qu´funciona el m´todo de inducci´n matem´tica? . . .
e
e
o
a

7

1.3. Aplicaci´n del m´todo de inducci´n matem´tica . . . . . . . . . . . .
o
e
o
a

8

1.3.1. Divisibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. Sucesiones y Series

13

2.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1. Sucesi´n factorial .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

14

2.1.2. Sucesiones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.3. Paso de la forma recursiva a expl´
ıcita y viceversa . . . . . . .

17

2.1.4. Monoton´ de sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa

31

2.1.5. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.6.Sucesiones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.1. Convergencia y divergencia de series . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2.2. Criterio de divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.2.3. Criterio de la serie Geom´trica . . . . . . . . . . . . . . .. .
e

55

2.2.4. Criterio de la serie telesc´pica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

58

2.2.5. Criterio de la integral y p−series . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.2.6. Criterios de Comparaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

69

3

4

´
INDICE GENERAL
2.2.7. Criterio de la raz´n y criterio de la ra´ . . . . . . . . . . . .
o
ız

72

2.2.8.Series alternadas y convergencia absoluta . . . . . . . . . . .

76

2.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.3.1. C´lculo del radio e intervalo de convergencia . . . . . . . . .
a

86

2.3.2. Series de Taylor y Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.3.3. Aproximaci´n de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . .
o98

2.4. Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Cap´
ıtulo 1

Inducci´n y recursividad
o

1.1.

Proposiciones l´gicas
o

´
Definicion 1 (Proposici´n)
o
Una proposici´n es una colecci´n de s´
o
o
ımbolos sint´cticos a la cual se le puede asiga
nar uno y solo un valor de verdad: verdadero (V) o falso (F). Las proposiciones,generalmente se denotan con letras en may´scula.
u
Recordatorio
Sean P y Q dos proposiciones, las conectivas l´gicas conjunci´n (∧),
o
o
disyunci´n (∨), implicaci´n (⇒), y doble implicaci´n (⇔) generan nueo
o
o
vas proposiciones definidas cuyos valores de verdad se define a continuaci´n:
o
P

Q

P ∧Q

P

Q

P ∨Q

P

Q

P ⇒Q

P

Q

P ⇔Q

V
V
F
F

V
F
V
F

V
FF
F

V
V
F
F

V
F
V
F

V
V
V
F

V
V
F
F

V
F
V
F

V
F
V
V

V
V
F
F

V
F
V
F

V
F
F
V

´
Definicion 2 (Proposici´n abierta)
o
Una proposici´n abierta es una colecci´n de proposiciones indexadas a trav´s de uno
o
o
e
o varios par´metros. El conjunto m´s grande de posibles valores para los par´metros,
a
a
a
se denomina universo de discurso odominio.
Ejemplo 1
Considere la proposici´n abierta:
o
Pn : n2 + 1 es un n´mero par. Donde n ∈ IN
u
note que para diferentes valores de n la proposici´n Pn puede ser falsa o verdadera,
o
es importante entender que Pn no es una sola proposici´n, sino una familia de proo
posiciones. Donde P1 , P2 , P3 , etc, son miembros particulares de dicha familia. Para
5

6

1.2. Inducci´n...