folleto2007

Problemas para la 21a
Olimpiada Mexicana de Matem´ticas
a
(Problemas Avanzados)

Editado por:
Carlos Jacob Rubio Barrios

2007

Carlos Jacob Rubio Barrios
Facultad de Matem´ticas, Universidad Aut´noma de Yucat´n.
a
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a

Contenido

Presentaci´n
o
Resumen de Resultados
Resultados de M´xico en las Internacionales . . . .
e
Resultados del Concurso Nacional de la 20a OMMAgradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Informaci´n sobre la Olimpiada . . . . . . . . . . .
o

V
VII

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. vii
. x
. xii
. xii

1. Enunciados de los Problemas
1.1. Problemas de Pr´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
1.2. Problemas de los ultimos tres Concursos
´
Nacionales de la OMM . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

10

2. Olimpiadas Internacionales en las que participa M´xico
e
2.1. XVIII Olimpiada de la Cuenca del Pac´
ıfico . . . . . . . . .
2.2. VIII Olimpiada Matem´tica de Centroam´rica y del Caribe
a
e
2.3. XXI Olimpiada Iberoamericana de Matem´ticas . . . . . .
a
a Olimpiada Internacional de Matem´ticas . . . . . . .
2.4. 47
a

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1

3. Soluciones de los Problemas
21
3.1. Soluciones de los Problemas de Pr´ctica . . . . . . . . . . . . . 21
a
3.2. Soluciones de los ultimos tres Concursos
´
Nacionales de la OMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4. Soluciones de las Olimpiadas Internacionales
75
4.1. XVIII Olimpiada de la Cuenca del Pac´
ıfico . . . . . . . . . . .. 75

Contenido

IV

4.2. VIII Olimpiada Matem´tica de Centroam´rica y del Caribe . . .
a
e
4.3. XXI Olimpiada Iberoamericana de Matem´ticas . . . . . . . . .
a
4.4. 47a Olimpiada Internacional de Matem´ticas . . . . . . . . . .
a

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86
93

Ap´ndice
e

100

Bibliograf´
ıa

107

Presentaci´n
o

La Sociedad Matem´tica Mexicana organiza la 21a Olimpiada Mexicana deMaa
tem´ticas. Los ganadores del certamen formar´n las selecciones que participar´n
a
a
a
en las distintas Olimpiadas Internacionales del a˜o 2008: la XX Olimpiada Man
tem´tica de la Cuenca del Pac´
a
ıfico que se llevar´ a cabo en el mes de marzo en
a
M´xico y los ex´menes se corregir´n en Corea, la 49a Olimpiada Internacional
e
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a
que se llevar´ a cabo en Espa˜a durante el mes dejulio, la XXIII Olimpiada
a
n
Iberoamericana de Matem´ticas que se realizar´ en septiembre en Brasil y la X
a
a
Olimpiada Matem´tica de Centroam´rica y el Caribe que se celebrar´ en alguno
a
e
a
de los pa´ participantes en el mes de junio.
ıses
En la 21a Olimpiada Mexicana de Matem´ticas pueden participar los estudiantes
a
o de agosto de 1988. Los concursantes deber´n
de M´xiconacidos despu´s del 1
e
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a
estar inscritos en una instituci´n preuniversitaria durante el primer semestre del
o
ciclo escolar 2007-2008 y, para el 1o de julio de 2008, no deber´n haber iniciado
a
estudios de nivel universitario.
La intenci´n de esta publicaci´n es que sirva como gu´ para los alumnos que
o
o
ıa
desean prepar´rse para el Concurso Nacional de la Olimpiada Mexicana de Maatem´ticas. Los problemas que aparecen aqu´ no son ejercicios rutinarios en los
a
ı
que se apliquen directamente los conocimientos que se adquieren en la escuela,
son problemas que requieren de una buena dosis de ingenio y de esfuerzo para
ser resueltos. Como en todos los aspectos del aprendizaje de las matem´ticas,
a
el esfuerzo individual y el enfrentamiento solitario con los problemas sonimportantes, pero tambi´n es muy importante la discusi´n con los compa˜eros y los
e
o
n
profesores.
Una forma de manifestar creatividad en matem´ticas es resolviendo problemas.
a
Otra forma, que requiere de una mayor madurez, es invent´ndolos. Invitamos a
a
todos los lectores de este folleto: profesores, estudiantes, ol´
ımpicos y exol´
ımpicos

VI

Etapas de la Olimpiada

a que...