Fonones
Páginas: 7 (1537 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2015
Fonones: Cuantización de las vibraciones de la
red cristalina.
Onda de longitud larga → k ≈ 0 → Ondas elásticas...
Ondas de longitud corta λ ≈ a o k ≈ π/a → tenemos
que tener en cuenta la estructura atómica del cristal.
fonón longitudinal
fonón transversal
Base monoatómica: Consideremos que las interacciones son elásticas, con constantes
que dependerán de la dirección de propagación y lapolarización de la onda. Las
fuerzas son proporcionales al desplazamiento y consideramos sólo interacciones entre
planos vecinos. La fuerza sobre un átomo del plano s viene de los planos s+1 y s-1:
Fs = C (us+1 – us ) + C (us-1 – us )
La ecuación del movimiento para el átomo:
d 2u s
= C (u s +1 + u s −1 − 2u s )
M
2
dt
Una onda viajando en la dirección K (perpendicular al plano) es:
u s = u0 exp(iKsa− iωt )
y por tanto
u s ±1 = u s e ± iKa
Sustituyendo queda: - Mω2 = C [exp(iKa) + exp(-iKa) –2] y por tanto:
ω2 = (2C/M)(1- cos Ka)
La solución no cambia si K→K± n 2 π/a.
Luego –π/a < K < π/a .(1ª Zona de Brillouin).
Kmax = π/a es una onda estacionaria.
Velocidad de grupo de las ondas: vg = dω/dK o vg = gradK ω(K).
Para la relación de dispersión que hemos visto vg(K) = (Ca2/M)½ cos (½Ka).
En K= π/a , vg = 0.
Límite continuo: si Ka <<1 ω2 = (C/M)K2a2 . (Ca2/M) ½ = velocidad ondas elásticas.
Base diatómica: En general si hay p átomos por celda unidad, hay 3p ramas en la
relación de dispersión. 3 ramas acústicas y 3p – 3 ópticas (en 3 dimensiones). Veamos
cómo se obtienen.
d 2u s
M 1 2 = C (vs + vs −1 − 2u s )
dt
d 2 vs
M 2 2 = C (u s +1 + u s − 2vs )
dt
Probemos soluciones de laforma us = u exp(isKa-iωt) y vs = v exp(isKa-iωt).
Sustituyendo obtenemos:
Este sistema tiene solución si:
para Ka << 1 tenemos
u/v = - (M2/M1) K=0
u= v K = 0
La estructura de las relaciones de dispersión es en general complicada:
“Cuantización” de las ondas elásticas:
La ondas elásticas son osciladores armónicas que están cuantizados y se les asocia
partículas (FONÓN). La energía es portanto:
En = (n + ½ ) ħ ω.
Esto implica que la amplitud de las ondas está cuantizada.
= ¼ ρVω2 u02 = (n+ ½) ħ ω. ⇒ u02 = 4(n + ½ ) ħ/ρVω.
El momento del fonón :
Una onda elástica o fonón no transporta momento lineal, sin embargo los fonones
se comportan como si su momento fuera P = ħK . En procesos de colisión, creación
y destrucción, se conserva el momento lineal.
Propiedades Térmicas:
Lasondas elásticas o fonones determinan gran parte de las propiedades térmicas:
Calor Específico.
Conductividad Térmica.
Energía Interna de las ondas elásticas a temperatura T:
U = ∑∑ U K , p
K
p
T
= ∑∑ nK , p
K
p
T
hω K , p
¿Cómo se hacen las sumas en K?.
¿Cuánto vale la contribución a la energía media de un onda de frecuencia ω(k)?.
¿Cuánto vale el número medio de fonones a temperatura T?. Distribución de Planck ( en otro contexto Bose-Einstein ):
La probabilidad de que un oscilador esté en un estado de energía En:
P(En ) = (1/Z) exp ( - En /kBT) donde Z (T) es una constante de normalización.
Se tiene que cumplir que ∑n P(En ) = 1. Luego Z = ∑n exp( - En /kBT).
Las distintas energías en los que puede estar un oscilador de frecuencia ω(k) son
En =(n+ ½) ħ ω. La función Z es portanto,
∞
Z (T ) = ∑ exp[− (n + 1 / 2)hω K / k BT ] = e
− hω / 2 k BT
n =0
1
1 − e − hω K / k B T
La contribución de la onda elástica a la energía media es:
U K = ∑ (n + 1 2 )hω K P ( En ) = (1 / Z )∑ (n + 1 2 )hω K e − ( n +1/ 2 ) hω / k BT
n
n
(
U K = 1 − e − hω / k BT
)∑ (n + )hω
)∑ nhω e
1
2
− nhω / k BT
=
e
K
n
(
= 1 2 hω k + 1 − e −hω / k BT
− n hω / k B T
K
=
n
(
= 1 2 hω k+ 1 − e
=
1
2
hω k + hω K
n( E ) =
− hω / k BT
)
(1 − e
1
e
hω / k BT
−1
1
e
hω K e −hω / k BT
E / k BT
−1
)
− hω / k BT 2
=
= 1 2 hω k + hω K n(ω K )
Distribución de Planck (Bose-Einstein)
La energía interna queda entonces :
U = ∑∑
p
K
hω K , p
e
hω K , p / k BT
−1
+
1
2
∑∑ hω
K
p
El calor específico se obtiene como :
CV =
∂U
= k B ∑∑
∂T
p K
(hω
K , p / k BT...
red cristalina.
Onda de longitud larga → k ≈ 0 → Ondas elásticas...
Ondas de longitud corta λ ≈ a o k ≈ π/a → tenemos
que tener en cuenta la estructura atómica del cristal.
fonón longitudinal
fonón transversal
Base monoatómica: Consideremos que las interacciones son elásticas, con constantes
que dependerán de la dirección de propagación y lapolarización de la onda. Las
fuerzas son proporcionales al desplazamiento y consideramos sólo interacciones entre
planos vecinos. La fuerza sobre un átomo del plano s viene de los planos s+1 y s-1:
Fs = C (us+1 – us ) + C (us-1 – us )
La ecuación del movimiento para el átomo:
d 2u s
= C (u s +1 + u s −1 − 2u s )
M
2
dt
Una onda viajando en la dirección K (perpendicular al plano) es:
u s = u0 exp(iKsa− iωt )
y por tanto
u s ±1 = u s e ± iKa
Sustituyendo queda: - Mω2 = C [exp(iKa) + exp(-iKa) –2] y por tanto:
ω2 = (2C/M)(1- cos Ka)
La solución no cambia si K→K± n 2 π/a.
Luego –π/a < K < π/a .(1ª Zona de Brillouin).
Kmax = π/a es una onda estacionaria.
Velocidad de grupo de las ondas: vg = dω/dK o vg = gradK ω(K).
Para la relación de dispersión que hemos visto vg(K) = (Ca2/M)½ cos (½Ka).
En K= π/a , vg = 0.
Límite continuo: si Ka <<1 ω2 = (C/M)K2a2 . (Ca2/M) ½ = velocidad ondas elásticas.
Base diatómica: En general si hay p átomos por celda unidad, hay 3p ramas en la
relación de dispersión. 3 ramas acústicas y 3p – 3 ópticas (en 3 dimensiones). Veamos
cómo se obtienen.
d 2u s
M 1 2 = C (vs + vs −1 − 2u s )
dt
d 2 vs
M 2 2 = C (u s +1 + u s − 2vs )
dt
Probemos soluciones de laforma us = u exp(isKa-iωt) y vs = v exp(isKa-iωt).
Sustituyendo obtenemos:
Este sistema tiene solución si:
para Ka << 1 tenemos
u/v = - (M2/M1) K=0
u= v K = 0
La estructura de las relaciones de dispersión es en general complicada:
“Cuantización” de las ondas elásticas:
La ondas elásticas son osciladores armónicas que están cuantizados y se les asocia
partículas (FONÓN). La energía es portanto:
En = (n + ½ ) ħ ω.
Esto implica que la amplitud de las ondas está cuantizada.
El momento del fonón :
Una onda elástica o fonón no transporta momento lineal, sin embargo los fonones
se comportan como si su momento fuera P = ħK . En procesos de colisión, creación
y destrucción, se conserva el momento lineal.
Propiedades Térmicas:
Lasondas elásticas o fonones determinan gran parte de las propiedades térmicas:
Calor Específico.
Conductividad Térmica.
Energía Interna de las ondas elásticas a temperatura T:
U = ∑∑ U K , p
K
p
T
= ∑∑ nK , p
K
p
T
hω K , p
¿Cómo se hacen las sumas en K?.
¿Cuánto vale la contribución a la energía media de un onda de frecuencia ω(k)?.
¿Cuánto vale el número medio de fonones a temperatura T?. Distribución de Planck ( en otro contexto Bose-Einstein ):
La probabilidad de que un oscilador esté en un estado de energía En:
P(En ) = (1/Z) exp ( - En /kBT) donde Z (T) es una constante de normalización.
Se tiene que cumplir que ∑n P(En ) = 1. Luego Z = ∑n exp( - En /kBT).
Las distintas energías en los que puede estar un oscilador de frecuencia ω(k) son
En =(n+ ½) ħ ω. La función Z es portanto,
∞
Z (T ) = ∑ exp[− (n + 1 / 2)hω K / k BT ] = e
− hω / 2 k BT
n =0
1
1 − e − hω K / k B T
La contribución de la onda elástica a la energía media es:
U K = ∑ (n + 1 2 )hω K P ( En ) = (1 / Z )∑ (n + 1 2 )hω K e − ( n +1/ 2 ) hω / k BT
n
n
(
U K = 1 − e − hω / k BT
)∑ (n + )hω
)∑ nhω e
1
2
− nhω / k BT
=
e
K
n
(
= 1 2 hω k + 1 − e −hω / k BT
− n hω / k B T
K
=
n
(
= 1 2 hω k+ 1 − e
=
1
2
hω k + hω K
n( E ) =
− hω / k BT
)
(1 − e
1
e
hω / k BT
−1
1
e
hω K e −hω / k BT
E / k BT
−1
)
− hω / k BT 2
=
= 1 2 hω k + hω K n(ω K )
Distribución de Planck (Bose-Einstein)
La energía interna queda entonces :
U = ∑∑
p
K
hω K , p
e
hω K , p / k BT
−1
+
1
2
∑∑ hω
K
p
El calor específico se obtiene como :
CV =
∂U
= k B ∑∑
∂T
p K
(hω
K , p / k BT...
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