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EA-18

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Ricardo Jacob Mendoza Rivera,
Víctor García García, Jesús Cruz Rojas,
David Eduardo Martínez Lara,
María del Socorro Rivera Casales.

Tipo de modalidad: Entorno del aprendizaje de las matemáticas.

Resumen: Mediante actividades sencillas aplicando la diferencial, se propicio el desarrollo del pensamiento lógico y reflexivo. El objetivo de estaponencia es ver aplicaciones de la diferencial en las operaciones por aproximaciones; por ejemplo √ (25.020), cos 40º, etc., se observo en los estudiantes de nivel medio superior y superior un interés en dar soluciones sencillas a ejercicios regularmente expuestos en las materias de; álgebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo diferencial .

Palabras clave: actividades, aplicaciones,diferencial.

1. Introducción.
En cada ejercicio se pretende una buena reproducción por el alumno de una actividad científica que exige que intervengan, que formulen, que prueben, que construyan modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que intercambien con otros sus experiencias, que tomen lo que es más útil para cada uno (Brousseau, 1986).
Se inicia dando una definición de laderivada.
Definición.-Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente (Courant, 2002).
[pic]
Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos [pic] a la variación de f cuando x varía de xo a xo + h y [pic] a la variación de la recta tangente en el mismorango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, D f @ D RT .Podemos expresar a D RT en términos de h y el [pic] que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos a continuación, se observa lo siguiente:
[pic]
[pic]
En virtud de que D RT es un aproximador de laDIFERENCIA D f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir:
df = f '(xo)h
Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2 es:
df = f ' (xo)h = (2xo)h
que también lo podemos expresar como:
d(x2) = (2xo)h
Si especificamos el punto xo, el diferencial dependeráúnicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:
a) El diferencial de f(x) = x2 en xo =3 es d(x2) = 6h
b) El diferencial de f(x) = x2 en xo =7 es d(x2) = 14h
c) El diferencial de f(x) = x3 en xo =2 es d(x3) = 12h
En el caso de la función identidad f(x) = x, como f '(xo) = 1 para todo xo, su diferencial nos queda como df = f '(xo)h = h o bien dx = h
Como h es el diferencial de lafunción identidad, podemos re-escribir el diferencial de una función f derivable en xo, como:
df = f '(xo)dx
Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.

2. Metodología.
Para la realización de las actividades se utilizocomo método que las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, supóngase que en la función y = f(x), cuando se da a “x” un incremento de ∆x, la variable “y” recibe un incremento ∆y, que puede considerarse como un valor aproximado de “dy” (Conamat, 2007). Por lo tanto, el valor aproximado de f(x+∆x) es:

f(x+∆x) ≡ y + ∆y ≡ y + f’(x) dx ≡ y + dy

Brevemente, elproceso de la investigación estará constituido por tres etapas. En la primera, la actual, la investigación es documental. El objetivo es identificar las definiciones que proponen los libros textos, así como el inventario del tipo de ejemplos y ejercicios que presentan. Por otro lado, se realizará observaciones en el aula para poder familiarizarse en la forma de trabajo con los estudiantes del...