Forma polar c

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

1. Conjuntos de n´ meros u 1.2. N´ meros complejos u 1.2.3. FORMAS POLAR Y DE EULER

Formas trigonom´trica y polar de un n´mero complejo e u Cada n´mero complejo z = x + yi queda definido un´ u ıvocamente por su m´dulo |z| y cualquier argumento θ, o pudi´ndose expresar en funci´n de ellos en la llamada formatrigonom´trica: z = |z| (cos θ + i sin θ). e o e La expresi´n simb´lica z = |z|θ se llama forma polar del n´mero complejo. o o u En forma polar o trigonom´trica, es decir, en funci´n del m´dulo y del argumento, dosn´meros complejos son e o o u iguales s´ y s´lo si tienen el mismo m´dulo y sus argumentos difieren en un n´mero entero de circunferencias: ı o o u |z|θ = |w|ϕ ⇐⇒ |z| = |w| y θ − ϕ = 2kπ , k ∈ ZOperaciones elementales en forma polar |z1 |θ1 |z2 |θ2 = (|z1 | |z2 |)θ1 +θ2 |z1 |θ1 = |z2 |θ2 |z1 | |z2 | (|z|θ )n = (|z|n )nθ

θ1 −θ2

Observaci´n: Al multiplicar un n´mero complejo por otro de m´dulounidad se obtiene el n´mero complejo o u o u resultante de girar el primero, con centro en el origen, un ´ngulo igual al argumento del segundo: a |z|θ 1ϕ = |z|θ+ϕ Forma exponencial de un n´ merocomplejo u Las propiedades de las operaciones de los n´meros complejos con respecto al m´dulo y argumento hacen que u o tenga sentido expresar los n´meros complejos como: u z = |z| (cos θ + i sin θ) = |z|eiθ que se llama forma exponencial o forma de Euler. Propiedades 1. Operaciones: r1 eiθ1 r2 eiθ2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) ;
r1 eiθ1 r2 eiθ2 1 z

=

r1 i(θ1 −θ2 ) ; r2 e

reiθ

n

= rn einθ .2. Si z = reiθ entonces: −z = rei(θ+π) ; z = re−iθ y

= 1 e−iθ . r

3. Los n´meros complejos de m´dulo unidad son z = eiθ , donde θ ∈ R es uno de sus argumentos. u o 4. Para cualquier k ∈ Z,ei2kπ = 1 y, en consecuencia: ei(θ+2kπ) = eiθ . 5. Igualdad en forma exponencial: r1 eiθ1 = r2 eiθ2 ⇐⇒ 6. Usando la forma exponencial: cos θ = Ejercicios 1. Obt´n la forma polar de: (a) z = 1 + e √ 3i;...