Forma polar y exponencial

2. Forma polar o módulo-argumento
Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde  es un argumento de , esto es,  esun ángulo tal que
, .


NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos losposibles valores que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor tal que ,y se denota
Se verifica entonces que
.
Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un númeroentero de vueltas, es decir, , con .
La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, esdecir, si , y , entonces



Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:
,
siempre que .
Lasfórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si , para , entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que .
En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo, .
(Aquí puedes ver una aplicación dela fórmula de Moivre)
Cambio de forma binómica a polar y viceversa:
Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica




3. Forma exponencial
Una variante de la forma polar seobtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para .
Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es...