Forma Trigonometrica Exponencial

Álgebra - Números Complejos

Igualdad

Forma Trigonométrica

Con la representación gráfica de los números
complejos surge la posibilidad de ubicarlos con
base en una magnitud y un ángulo. Al dibujaral
número complejo como una recta (o flecha)
desde el origen hasta el punto 𝑍(𝑎, 𝑏) se
incluye una magnitud (desde 𝑂 hasta 𝑍) y un
ángulo (formado entre el eje real y la flecha).

Dos númeroscomplejos 𝑧1 = 𝑟1 cis 𝜑1 y 𝑧2 = 𝑟2 cis 𝜑2 son iguales si sus módulos son
iguales y sus argumentos difieren un múltiplo de 2𝜋 radianes.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑏
𝑟

El triángulo formado por las rectas 𝑟, 𝑎 y 𝑏
permiteestablecer la relación entre la forma
binómica y la trigonométrica.

𝜑

Para el ángulo o argumento se sabe que

𝑎

Para la magnitud o módulo se aplica el teorema de Pitágoras:
2

2

𝑟 =𝑎 +𝑏 ⇒𝑟 =

�𝑎2

+𝑏2

El proceso contrario implica la relación de las rectas citadas con senos y cosenos.
cos 𝜑 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
⇒ ∴ 𝑎 = 𝑟 cos 𝜑
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑟

sin 𝜑 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑏
⇒ ∴ 𝑏 = 𝑟 sin 𝜑
𝑟ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

Por lo tanto la forma trigonométrica de un número complejo es

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟 cos 𝜑 + 𝑟𝑖 sin 𝜑 ⇒ 𝑟(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑)

1

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

Operaciones

𝑟1 = 𝑟2 ,

𝜑1 = 𝜑2 + 2𝜋𝑘,

∀ 𝑘 = 0, 1, 2, 3, …

Son cuatro lasoperaciones que pueden realizarse con la forma trigonométrica del número
complejo: producto, cociente, potenciación y radicación.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑏
𝑏
tan 𝜑 =
⇒ ∴ 𝜑 = arctan
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎
𝑎
2

2014

Sean 𝑧1 = 𝑟1 cis 𝜑1 y 𝑧2 = 𝑟2 cis 𝜑2 . Su producto estará dado por:

𝑧1 𝑧2 = (𝑟1 cis 𝜑1 )(𝑟2 cis 𝜑2 ) ⇒ 𝑟1 𝑟2 cis(𝜑1 + 𝜑2 )

Mientras tanto, su división será:

𝑧1 𝑟1 cis 𝜑1 𝑟1
=
⇒cis(𝜑1 − 𝜑2 )
𝑧2 𝑟2 cis 𝜑2 𝑟2

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

La potenciación de 𝑧 = 𝑟 cis 𝜑 equivale a una multiplicación y opera como tal.

𝑧𝑛 = 𝑧 ∙ 𝑧 ∙ 𝑧 ∙ … ∙ 𝑧
(𝑟 cis 𝜑)𝑛 = (𝑟 cis 𝜑)(𝑟 cis 𝜑)(𝑟 cis𝜑) … (𝑟 cis 𝜑)
= (𝑟 ∙ 𝑟 ∙ 𝑟 ∙ … ∙ 𝑟) cis(𝜑 + 𝜑 + 𝜑 + ⋯ +) ⇒ 𝑟 𝑛 cis 𝑛𝜑

La ecuación (𝑟 cis 𝜑)𝑛 = 𝑟 𝑛 cis 𝑛𝜑 , ∀ 𝑛 ∈ ℚ, es conocida como el teorema de De Moivre.

La...