formación

Los números reales
 La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .
 El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en ,   y   es un conjunto totalmente ordenado.
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
 Muchas de laspropiedades que hemos visto para los conjuntos   e  son heredadas por .
 Como ya se ha visto,  es denso en  . También  es denso en .
 Podemos considerar  como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
 A diferencia de lo visto para ,  y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).

Veamos por último un cuadro resumen de las propiedadesque hemos analizado en los distintos conjuntos de números.
    

Ordenado
Denso
Numerable
Estructura algebraica




+   Semigrupo 
*   Semigrupo




+      Grupo 
*      Semigrupo 
+,*   Anillo conmut. con1




+      Grupo 
*      Grupo 
+,*   Cuerpo conmut.




No tiene estructura algebraica al no ser cerrado para + y *




+      Grupo 
*      Grupo 
+,*  Cuerpo conmut.

Funciones



Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse avarios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla ocorrespondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye surecorrido".
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elementox E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
Observaciones:
En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Serimagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:
X
Y
-1
0
½
1
2
1
0
¼
1
4
Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianosortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A
3. Aplicaciones de las funciones reales
Generalmente  se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se  da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales.  Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida...