Formacion matematico

Prefacio
Estas notas constituyen el material de apoyo de un taller para estudiantes
Licenciatura en Matem¶aticas dirigido a desarrollar la habilidad para resolver
problemas.
Aunque por lo general los problemas juegan un rol importante en cual-
quier curso de matem¶atica y la habilidad para resolverlos es un aspecto
importante de la evaluaci¶on, los profesores suelen centrar sus esfuerzos enlos aspectos t¶ecnicos espec¶³¯cas de su asignatura y no en los aspectos gene-
rales de la resoluci¶on de problemas. El objetivo de esta obra en cambio es
ayudar al lector a desarrollar su habilidad general para resolver problemas.
Es bueno dejar en claro que el desarrollo de esta habilidad es b¶asica-
mente el resultado del trabajo personal, de la pr¶actica adquirida resolviendo
problemasy de la re°exi¶on sobre esa pr¶actica. No es posible convertirse en
un solucionista experto mediante la mera lectura pasiva de un libro, del
mismo modo que no es posible convertirse en un buen nadador o pianista
simplemente leyendo un manual. Sin embargo el conocimiento de las t¶ecni-
cas apropiadas y de los errores t¶³picos que es preciso evitar puede ser tan
¶util para el solucionista comolo es para el nadador o el pianista.
Con el ¯n de que la obra sea de utilidad para el mayor n¶umero posible
de estudiantes se ha procurado que los problemas analizados no requieran
de conocimientos especializados. Sin embargo las mismas t¶ecnicas y estra-
tegias que ejempli¯camos con problemas elementales se aplican a los m¶as
avanzados.
¶Indice general
Introducci¶on 1
1. PrincipiosGenerales 3
1.1. Resoluci¶on de Problemas y Creatividad . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Invertir el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Pensamiento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3. Principio de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Imitaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5. Tormenta de cerebros (Brainstorming) .. . . . . . . . 5
1.1.6. Mapas mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.7. Programaci¶on neurolingÄu¶³stica (PNL) . . . . . . . . . 6
1.1.8. Factores afectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.9. Bloqueos mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. La Creaci¶on Matem¶atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. La metodolog¶³a de P¶olya .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. El trabajo de Alan Schoenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Ejemplos sencillos 14
2.1. Aritm¶etica y ¶ Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Geometr¶³a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Algunas EstrategiasB¶asicas 26
3.1. Figuras y diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Examen de casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3. Transformaciones e Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4. El Principio Extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
iii
4. Un problema y varias soluciones 37
4.1. Inducci¶on . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 38
4.2. Teor¶³a de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3. Pruebas por Integraci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4. El m¶etodo de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5. Funciones escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6. Triangulaciones y Lema de Sperner . . . . . . . . . . . .. . . 43
5. Problemas para pensar 45
6. Soluciones y sugerencias 51
Bibliograf¶³a 60
iv
Introducci¶on
La palabra problema proviene del griego ¼½o¯®¸¸"¶º, \lanzar adelante".
Un problema es un obst¶aculo arrojado ante la inteligencia para ser superado,
una di¯cultad que exige ser resuelta, una cuesti¶on que reclama ser aclarada.
Todos vivimos resolviendo problemas: desde el m¶as b¶asico...