formalismo vs intuicionismo

INTRODUCCION
A partir del siglo XIX, Georg Cantor propone una teoría la cual cosecha seguidores y opositores: LA TEORIA DE CONJUNTOS.
Esta teoría expone ideas que hoy resultan familiares y que en aquel momento causó muchos conflictos para aceptarlas. Algunas ideas expuestas por Cantor fueron la existencia de diferentes clases de infinito, laspropiedades de los buenos órdenes, los ordinales y los cardinales, las operaciones con los números transfinitos entre otros.
Cantor definió a los conjuntos como colecciones de objetos reales o abstractos. Con esta idea se pudo ver como varía la cardinalidad de los conjuntos finitos, y como los distintos conjuntos infinitos también tienen distintos cardinales. Esto significa que, no tienen el mismocardinal el conjunto de los números naturales (N) y el conjunto de los números reales (R), si no, que el conjunto de los números reales es más infinito que el conjunto de los números naturales. Hubo matemáticos que consideraron a esta conclusión como absurda ya que creían que no se podía tomar al infinito como un ente individual. Cantor estudió y trabajo con los números infinitos y sus cardinales,cosa que le trajo problemas, en especial cuando ideó un procedimiento para demostrar que existen infinitos números trascendentes, estos son números que no verifican ninguna ecuación de la forma:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0 con aiZ i
Esto lo llevo a una contradicción cuando demostró que el conjunto de los números reales es infinito no numerable.
Estos problemas junto con otras paradojas que seformaban en la teoría de conjuntos fueron los causantes de conflictos entre grandes corrientes filosóficas, como el formalismo y el intuicionismo entre otras.
En este trabajo se explicará cómo cada una de estas corrientes trata de solucionar y explicar los problemas mencionados.













INTUICIONISMO
Para hablar del intuicionismo tenemos que partir de las ideas de HenriPoincaré (1854-1912) que expresaba que el instrumento del intuicionismo es la invención. Criticó el axioma de elección el cual establece que, para todo subconjunto no vacío B de A, f(B) Ԑ B; porque en él se admite que no se puede recurrir a un número no numerable de elecciones. Además de su convencimiento sobre el carácter sintético de las matemáticas, poniendo como ejemplo el principio de induccióncompleta. El principio de inducción completa dice: Sea y supongamos que Entonces Según Poincaré este principio permite pasar de una proposición particular a una general mediante la simple intuición de la secuencia completa de los números naturales. Poincaré define a esta intuición como una pura comprensión mental de algún principio o relación fundamental; sin ellas las matemáticas sonimposibles. Otro aspecto que defendió Poincaré, es la negación de la existencia del infinito actual y, con ella, la imposibilidad de las definiciones impredicativas.
A partir de estos antecedentes entra en escena el principal referente de esta corriente
Brouwer, Luitzen Egbert Jan.
Brouwer que nace el 27 de febrero de 1881 y vivió 85 años, desde chico iba varios años adelantados en sus estudios,tanto que a los 16 años se matricula en la universidad de Ámsterdam para estudiar matemáticas.
Para Brouwer el intuicionismo se constituye en torno a dos grandes acciones-convicciones:
• Separa a las matemáticas del lenguaje matemático, en particular los fenómenos de lenguaje descritos por medio de la lógica. Reconoce así que la matemática como una actividad a-lingüística. Es una actividad de lamente cuyo origen está en la percepción del movimiento del tiempo. Ahí radica la intuición de la matemática.
• Reconoce la posibilidad de generar nuevas entidades matemáticas. En primer lugar, entidades de sucesiones infinitas que se generan a partir de entidades matemáticas puramente construidas. Y en segundo lugar, en forma de “especies matemáticas” (propiedades atribuibles a entidades...