FORMALIZACION DE PROPOSICIONES

FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES
Prof. Dr. Carlos Alvarado de Piérola

1. INTRODUCCIÓN: EL LENGUAJE FORMALIZADO.
El lenguaje formalizado, denominado también lenguaje simbólico, es el lenguaje utilizado en la actividad científica. Sólo sirve para formular conocimientos. Es un lenguaje especializado. Pertenecen a este tipo, por ejemplo, el lenguaje lógico y el matemático.
2. EL LENGUAJE LÓGICO.El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es revelar la forma o estructura de las proposiciones y de las inferencias. Está constituido por:
Variables proposicionales: p, q, r, etc.1
Operadores: ~, ⋀, v, →,↔2
Metavariables: A, B, C, etc.
Símbolos de agrupación: ( ), [ ], { } y los puntos auxiliares: . .
Las variables proposicionales se usan parasimbolizar variables. De ser el caso, se usan junto con los operadores lógicos. Ejemplos:
La tierra es redonda: p
p

La tierra no es redonda: ~ p
~ p

La tierra es redonda y hoy es martes: p ⋀ q
p q

Si estudio entonces aprobaré: p → q
p q


Viajarán si y sólo si tienen pasajes: p ↔ q
p q

Las metaviariables, como sunombre lo indica, son fórmulas que simbolizan otras fórmulas. Constituyen un metalenguaje. Ejemplos:
p se puede simbolizar por A
p → q se puede simbolizar por B

(p → q ) ⋀ q se puede simbolizar por A ⋀ B

Los símbolos auxiliares sirven para agrupar fórmulas. Ejemplos:

(p → q ) ⋀ q

[ (p → q) ⋀ q ] v ~ p

{ [ (p → q) ⋀ q ] v ~ p } → (p → r)

Al usar los símbolos de agrupaciónestablecemos la jerarquía de los operadores.

A veces, se combina el uso de los símbolos auxiliares con los puntos auxiliares. Lo cual permite prescindir de la necesidad de utilizar muchos símbolos auxiliares.

Ejemplo:
[ (p → q) ⋀ q ] v ~ p . →. p → r

Esta fórmula equivale a la que aparece arriba.

Con este lenguaje tenemos el instrumento necesario para simbolizar y construir fórmulas. Peropara construirlas deberemos tomar en cuenta determinadas a reglas, las que veremos a continuación.

3. REGLAS DE FORMACIÓN DE FÓRMULAS LÓGICAS.
Una fórmula lógica es una fórmula bien formada (FBF). Es una cadena de signos construida según las reglas establecidas por la sintaxis lógica.3 Puede ser:
- fórmula atómica o
- fórmula molecular.
Una fórmula es atómica cuando no contiene entre sus símbolosa ningún operador y puede ser representada por una variable proposicional.
Una fórmula es molecular cuando contiene entre sus símbolos por lo menos un operador.
Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica:
Regla 1: Toda variable proposicional es una FBF.
Regla 2: Si A es una FBF, entonces ~ (A) es también una FBF.
Regla 3: Si A y B son FBF, entonces A ⋀ B, A v B, A ￩/￫ B, A → B y
A ↔ B sonigualmente FBF.
Regla 4: Ninguna otra fórmula es una fbf en LP.

Sin embargo, se consideran también otras reglas complementarias:

Regla 5: Una FBF tiene un nombre y éste depende de su operador de mayor jerarquía.
Regla 6: El operador de mayor jerarquía es aquel que está libre de los signos de agrupación: '( ) ', '[ ]' y '{ }'.
Regla 7: Los signos de agrupación se usan sólo cuando su omisiónhace ambigua una fórmula, es decir, una fórmula susceptible de una doble interpretación.

4. EJERCICIOS:
a) p → (p ⋀ r)
Es una FBF en virtud de R5. Se llama condicional por R7.
b) p v q ⋀ r → s
No es una FBF, es ambigua.
c) p ~ q
No es una FBF, viola la R3.
d) p ⋀ ~ q
Sí es una FBF, en virtud de la R5 se llama conjunción.

5. FORMA LÓGICA Y FÓRMULA LÓGICA.
Toda proposición tiene su formalógica y su fórmula.
La forma lógica de una proposición es otra proposición equivalente a ella, en lenguaje natural, pero en la cual su estructura sintáctica está completamente explicitada.
La fórmula lógica es la representación en lenguaje simbólico de una proposición cuya estructura sintáctica ha sido completamente explicitada.
Procedimiento a seguir para formalizar una proposición:
a) Se...