Formas cuadraticas

FORMAS CUADRATICAS Se pueden usar formas cuadráticas para obtener información sobre las secciones cónicas en R2 (círculos, parábolas, elipses, hipérbolas) y extender está teoría para describirciertas superficies, llamadas superficies cuadráticas, en R3. Las formas cuadráticas surgen en una gran variedad de aplicaciones que van de la descripción de las funciones de costo en economía al análisisdel control del recorrido de un cohete en el espacio. Definición 1. Ecuación cuadrática y forma cuadrática. i. Una ecuación cuadrática en dos variables sin términos lineales es una ecuación de laforma: ax2 + bxy + cy2 = d Donde | a| + | b| + | c| ≠ 0. Esto es, al menos uno de los números a, b, c y c es diferente de cero. ii. Una forma cuadrática en dos variables es una expresión de la forma F(x,y)= ax2 + bxy + cy2 Donde | a| + | b| + | c| ≠ 0. Es evidente que las ecuaciones y las formas cuadráticas tiene una fuerte relación. Definición 2. x1 Forma cuadrática. Sea v = x2 y sea A una matrizsimétrica de n * n. : xn Entonces una Forma cuadrática en x1, x2, ..., xn es una expresión de la forma F(x1, x2, ..., xn) = Av * v Ejemplo 1. Una forma cuadrática en cuatro variables. Sea A= 2 1 2 -2 1 2-4 6 6 7 5 -1 -2 5 -1 3 x1 y v = x2 x3 x4

2

1

2

-2

x1

x1

2x1 + x2 + 2x3 – 2x4 x1 – 4x2 + 6x3 + 5x4 2x1 + 6x2 + 7x3 – x4 -2x1 + 5x2 – x3 + 3x4

x1 x2 x3 x4

Av * v =

1 2 -2-4 6 5

6 7 -1

5 -1 3

x2 x3 x4

x2 = x3 x4

= 2x21 + 2x1x2 – 4x22 + 4x1x3 + 12x2x3 + 7x23 – 4 x1x4 + 10x2x4 – 2x3x4 + 3x24 (después de simplificar). Ejemplo 2. Una matriz simétrica quecorresponde a una forma cuadrática en cuatro variables. Encuentre la matriz simétrica A que corresponde a la forma cuadrática 5x21 – 3x1x2 + 4x22 + 8x1x3 – 9x2x3 + 2x23 – x1x4 + 7x2x4 + 6x3x4 + 9x24Solución. Si A = (aij), entonces se ve que aij es el coeficiente del término x21 y aij + aji es el coeficiente del término xixj. Como A es simétrica, aij = aji; así, aij = aji = ½. (coeficientes...