formas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

INTRODUCCIÓN
El presente ensayo involucra lo referente al tema de ecuaciones diferenciales en donde se presenta algunos subtemas de importancia como la descripción e identificación de las ED ya sea por su Tipo, por su Grado o Linealidad. Además se analizarán las formas para comprobar las soluciones de ED, identificando por su clasificación los métodos para resolución de ED.
Se incluye como sedescriben y emplean las condiciones iniciales y frontera en soluciones de ecuaciones.















DESARROLLO
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva.
Las ecuaciones diferencialesse dividen en dos:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables

Además las ED se clasifican en cuatro tipos :
1. Clasificación por su Tipo.
Esta se identifica porque en una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o másvariables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Un ejemplo de clasificación por tipo es el siguiente.
Ejemplo:


2. Clasificación por su Grado.
Su clasificación es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

3. Clasificación por Linealidad.Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0
Un ejemplo de este tipo de clasificación de ED es el sig.
Ejemplo:


Formas de comprobación de las soluciones de ED
Una solución de una ecuación diferencial es una función que alreemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es igual a que la convierte en una identidad.
Hay tres tipos de soluciones:
Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familiasimplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc).
Solución particular: Si fijando cualquier punto  por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre decondición inicial.
Solución singular: Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. Una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

Teorema de existencia y unicidad en una ED
El teorema de existencia y unicidad al igual que otros teoremas plantean una solución desde un comienzo, másno todas son funcionales para todos los casos. Cuándo un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas,cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:
1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?
2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?
3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?








Ejemplo:
Dado el problema...