Formula de Derivadas

Algebra Vectorial. Repaso: Longitud de Arco
1. Calcule la longitud de arco de la curva
r(t) = 12ti + 8t
3 2 j + 3t2k, 0 ≤ t ≤ 1 (1)
Soluci´on: Para el vector posicio´n dado en (1) se tiene elsiguiente vector velocidad
→− v = 12i + 8
3 2

t
1 2 j + 3(2)tk
cuya rapidez se calcula mediante
k→− v k =
q 122 + (12t
1 2 )2 + (6t)2
=
√
144 + 144t + 36t2 = p(12 + 6t)2 = 12 + 6t
Ahorasolo necesitamos integrar esta rapidez a lo largo de 0 ≤ t ≤ 1.
1 Z
0
12 + 6t dt = (12t + 3t2) 
1 0
= 12 + 3(1)2 − 12(0) + 3(0)2 = 15
Por lo tanto, la longitud de la curva (1) a lo largo de0 ≤ t ≤ 1 es 15 unidades.
2. Calcule la longitud de la curva
r(t) =
√
2ti +
√ 2tj + (1 − t2)k, (2)
desde (0,0,1) hasta (2,2,−1).
Soluci´on:
Lo que se necesita es saber cuales van a ser losl´ımites de integracio´n. En este caso el punto (0,0,1) corresponde al momento t = 0 y (2,2,−1) corresponde al momento t = √ 2.
Nota: Para poder calcular estos tiempos se despeja una componente delvector posicio´n y se iguala a la correspondiente componente del punto deseado, es decir, para el primer caso si comparamos la primera componente tendriamos
0 =
√
2t ⇒ t = 0.
Mientras que para elsegundo
2 =
√ 2t ⇒ t =
√ 2.
1
´ Algebra Vectorial. Repaso: Longitud de Arco
Observese que este valor debe ser el mismo en cada componente.
As´ı, obtenemos
Z
√
2
0
k→− v kdt =
Z
√
2
0
q (√ 2)2 + (
√
2)2 + (−2t)2 dt
=
Z
√
2
0
√ 4 + 4t2 dt =
√
2
Z
0
p4(1 + t2)dt =
√
2
Z
0
2p(1 + t2)dt
En este paso se ocupa la sustituci´on trigonom´etrica
t = tan θ dt = sec2θdθ
(3)
1+ tan2θ = sec2θ ⇒
√ 1 + tan2θ =
√
sec2θ = sec θ
Omitimos por un momento los l´ımites de integracio´n y obtenemos
Z
2 √
1 + t2dt =
Z
2sec θ · sec2θdθ = 2
Z
sec3θdθ (4)
En este paso, sirecuerdan cual es la integral de sec3θ lo pueden ocupar (no formularios). Si no, revisen lo siguiente:
Z
sec3θdθ =
Z
sec θ(1 + tan2θ)dθ
=
Z
sec θdθ +
Z
sec θ tan2θdθ
=
Z
sec θ
sec θ +...