Formula de Herón


Fórmula de Herón


Triángulo de lados a, b, c.
En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de suslados a, b y c:

donde s es el semiperímetro:

La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:









Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distintaa la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Sea un triángulo de lados a, b, c, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son Entonces, por el teorema del coseno:
.
De laidentidad pitagórica

se obtiene:
.
La altura de un triángulo de base a tiene una longitud

Como , se llega finalmente a:



Estabilidad numérica
La fórmula de Herón dada más arriba esnuméricamente inestable para triángulos de ángulos muy pequeños (como ocurre frecuentemente en astronomía). Una alternativa numéricamente más estable []implica reordenar las longitudes de los lados de modo que a≥ b ≥ c, y luego realizar el computo con acuerdo total a la siguiente forma reordenada, de la fórmula de Herón:

En la fórmula precedente los paréntesis son absolutamente necesarios para evitar lainestabilidad numérica en la evaluación.


Generalizaciones

Desigualdad triangular, .
La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo del área decuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular área de un cuadrilátero.
Expresando parte de la fórmula de Herón (sólo los términosinternos a la raíz) de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados (más precisamente, el valor absoluto del determinante), obtenemos:Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y A será el área del mismo. Hay que asegurarse que los datos a, b y c que se proveen al determinante cumplan con la desigualdad...