formula de heron

Fórmula de Herón.
En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría,1 relaciona el áreade un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:

Donde s esel semiperímetro del triángulo:

La fórmula también puede escribirse de las siguientes formas:




La fórmula de Herón se distingue de otras fórmulas para hallar el área de un triángulo, como la dela mitad de la base por la altura o la de la mitad del módulo de un producto cruz de dos lados, al no requerir ninguna elección arbitraria de un lado como base o un vértice como origen.
La pruebaoriginal de Herón hace uso de los cuadriláteros cíclicos, mientras que otros argumentos apelan a la trigonometría como el anterior, o para el incentro y un excentro del triángulo [2]. El siguienteargumento reduce la fórmula de Herón directamente al teorema de Pitágoras utilizando únicamente medios elementales.
En la forma 4Á 2 = 4s(s − a)(s − b)(s − c), La fórmula de Herón se reduce a laizquierda para (ch)2, o
 que es el mismo que 
usando b 2 − d 2 = h 2 por el teorema de Pitágoras, y sobre el derecho a

vía la identidad (p + q) 2 − (p − q) 2 = 4pq. Por tanto, basta mostrar

y

Acontinuación, expandiendo la forma se obtiene lo siguiente:

Y que se reduce a  al sustituir 2s = (a + b + c) y simplificando. Presentando por s la letra s(s − a) − (s − b)(s − c) reduce sólo hasta(b 2 + c 2 − a 2)/2. Pero si sustituimos b 2 por d 2 + h 2 y a 2 por (c − d) 2 + h 2, tanto por Pitágoras, entonces simplificando se producecd según se requiera.
La fórmula de Herón es un casoparticular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo del área de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular área de uncuadrilátero.
Expresando parte de la fórmula de Herón (sólo los términos internos a la raíz) de forma matricial dentro de un determinante (determinante de Cayley-Menger) en términos de cuadrados...