Formula De Heron

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Fórmula de Herón

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, relaciona el área de untriángulo entérminos de las longitudes de sus lados a, b y c:

donde s es el semiperímetro:

La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:-------------------------------------------------
Demostración
Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Sea un triángulo delados a, b, c, cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son  Entonces, por el teorema del coseno:
.
De la identidad pitagórica

se obtiene:
.
La altura de un triángulo debase a tiene una longitud 

Como , se llega finalmente a:

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Generalizaciones
La fórmula de Herón es un caso particular dela fórmula de Brahmagupta para el cálculo del área de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular área de uncuadrilátero.
Expresando la fórmula de Herón de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados, obtenemos:

Ninguno delos resultados puede dar 0, pues no tendría solución el problema; por ejemplo: a=10, b=20, c=30, el primero saldría bien porque es una suma, pero los siguientes (a+b-c)=(10+20-30)=0nunca se puede dar esa situación.
Así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seislados.Tartaglia halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Los determinantes de Cayley-Mengergeneralizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.