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Formulación
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FORMULACIÓN DE MODELO

El modelo es la representación abstracta de la realidad, se construyen modelos con la finalidad de poder resolver problemas del mundo real.

Todo problema de programación lineal esta compuesto de una función objetivo que se va optimizar, (maximizar o minimizar) y las restricciones que describen los requerimientos y las limitaciones de losrecursos.

Todo programa lineal parte de los siguientes supuestos:

1. Linealidad, se exige que las restricciones y función objetivo sean lineales.

2. Independencia entre actividades, se pretende garantizar que el problema permanezca en forma lineal.

3. Divisibilidad, los valores de las variables es de carácter continuo.

4. Determinístico, todos los términos en el modelo lineal se suponenconocidos.

Sea el siguiente problema:

Minimizar z = c1x1 + c2x2 + ...... + cnxn

Sujeto a:

a11 x1 + a12 x2 + ...... + a1n xn b1
a21 x1 + a22 x2 + ...... + a2n xn b2
: : :
an1 x1 + am2 x2 + ...... + amn xn bn

x1, x2, ..xn 0

La función objetivo es c1x1 + c2x2 + ..... + cnxn ; c1,c2 ...cn son los coeficientes y x1, x2, ..., xn son las variables de decisiónque deben determinarse.

Las desigualdades son las restricciones. Los coeficientes aij para i=1,2 ...m y j=1,2 ...n se denominan coeficientes tecnológicos.
El vector columna del lado derecho representa los requerimientos mínimos que deben satisfacer.

Las restricciones x1, x2, ..., xn 0 son las condiciones de no negatividad de cada variable.

El método simplex está diseñado para resolverprogramas lineales donde las variables de decisión son no negativas.
A continuación se presenta una serie de problemas con sus respectivos programas lineales, el objetivo que se persigue es mostrar la mayor cantidad posible de mecanismos necesarios para formular cualquier problema lineal.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

PROBLEMA TIPO DE PRODUCCION

1. Una compañía elabora dos productos P1 y P2 cada unorequiere de componentes c1 y c2 la disponibilidad de componentes y precio venta se muestra en el siguiente cuadro.


Producto
Componentes
Precio Venta
(S/. / Unidad)

C1
C2

P1
1
2
4
P2
3
1
3
Dispone (Unid.)
15000
10000


Se pide presentar el modelo que optimiza el ingreso por ventas

Solución

xi = Unidades del producto i a producir ( i = 1,2)

max z = 4x1 + 3x2
Sujeto a:
x1 + 3x2 15,000
2x1 +x2 10,000
x1, x2 0

2. Si cada unidad de P1, problema 1 genera 3 unidades de un subproducto P3 y además se tiene que el mercado demanda como máximo 500 unidades de P3 al precio de S/. 2.00 por unidad y un costo ocasionado por la destrucción de cada unidad excedente de S/. 0.50

Se pide formular el programa lineal.

Solución

X3j = Unidades del producto 3 que tiene el destino j ( j= Venta,Destrucción )

x3 = Unidades producidas de P3
x31 = Unidades producidas de P3 que se venden
x32 = Unidades producidas de P3 que se destruyen

max z = 4x1 + 3x2 +2x31 - 0.5x32

Sujeto a:
x1 + 3x2 15,000
2x1 + x2 10,000
x3 = 3x1
x31 500
x31 + x32 = x3
x1, x2 , x3, x31, x32 0


3. Si los costos de los componentes del problema 1 son como sigue:


Componente C1
Componente C2
Rg.
De
a
S/. / Unid
Rg.De
a
S/. / Unid
1
1
5,000
0.3
1
1
8,000
0.2
2
5,001
12,000
0.4
2
8,001
10,000
0.4
3
12,001
15,000
0.5






Se pide formular el programa lineal.

Solución

Adicionalmente a las variables del problema 1 se tiene las siguientes:

xc1j = Unidades del componentes c1 del rango j (j=1,2,3)
xc2j = Unidades del componentes c2 del rango j (j=1,2)

max z = 4x1 +3x2 -(0.3xc11 + 0.4xc12 + 0.5xc13 +0.2c21+0.4xc22)

Sujeto a:

x1 + 3x2 15,000
2x1 + x2 10,000
xc11 + xc12 + xc13 = x1 + 3x2
xc21 + xc22 = 2x1 + x2
xc11 5,000
xc12 7,000
xc13 3,000
xc21 8,000
xc22 2,000
x1, x2, xc11, ... ,xc22 0

PROBLEMA TIPO DE METAS DE TRABAJO

4. Se quiere obtener la máxima cantidad del producto P3 que se logra del ensamble de una unidad de P1 y una unidad de P2, las que se elaboran a partir de los componentes c1...