formulaesferica

LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

CARLOS S. CHINEA

LAS FÓRMULAS DE LA

TRIGONOMETRIA ESFERICA

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

LA ESFERA. ELEMENTOS DE LA ESFERA.
FORMULAS DE LOS SENOS.
FORMULAS DE LOS COSENOS.
FORMULAS DE BESSEL.
FORMULAS DE LAS COTANGENTES.
FORMULAS DE BORDA.
ANALOGIAS DE DELAMBRE.
ANALOGIAS DE NEPER.

---OO0OO---

MARCHENA

DICIEMBRE 2002

0

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1. LA ESFERA. ELEMENTOS DE LA ESFERA:

La esfera:
Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por

{

E = (x , y , z ) ∈ R 3 / (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) ≤ k 2
2

2

2

}

Superficie de la esfera:
Se llama superficie de una esfera de centro en el punto (a,b,c) y radio k, al dominio de R3
definido por

{

E = (x , y , z ) ∈ R3 / (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) = k 2
2

2

2

}

Círculos máximos:
Se llaman círculos máximos de una esfera de radio k a las circunferencias de radio k. Los
círculos máximos están contenidos en la superficie de la esfera.
Se llama ángulo barrido sobre un círculo máximo comprendido entre dos punto A y B del
mismo al ángulo AOB, siendo O el centro matemático de la esfera.

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Propiedades elementales:
a) 4 puntos del espacio euclídeo R3 definen una esfera, y solo una.
b) Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos círculos máximos. Por dos
puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un círculo máximo y solo uno.
c) Si la longitud de arco desde A a B es a y el radio de la esferaes k, el ángulo sobre el
círculo máximo es @ = a/k.

Volumen y superficie de la esfera:
El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que
gira alrededor del diámetro.
La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución.
Si consideramos a la esfera centrada en el origen, se tiene:

Para el volumen:

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k

k

0

0

V = 2π ∫ y 2.dx , Parala superficie: S = 4π ∫ y. 1 + y ' 2 .dx
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Cálculos:

(

)

k
k
4
V = 2π ∫ y 2 .dx =2π ∫ k 2 − x 2 .dx = π.k 3
0
0
3

k

k

S = 4π ∫0 y. 1 + y ' .dx = 4π∫0
2

2

k
− x
k
y. 1 + 
 .dx = 4π∫0 y. .dx = 4π.k 2
y
 y 

Dominio sobre la superficie esférica:
Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobrela superficie de la esfera limitado
por curvas contenidas en dicha superficie.

Triángulo esférico:
Un triángulo esférico de vértices A, B y C, es el dominio de superficie esférica limitado por
tres círculos máximos que se cortan en A, B y C.

Los lados, a, b y c, son respectivamente, los arcos de círculo máximo opuestos a A, B y C.
En todo triángulo esférico de lados a, b y c, y de vértices A, B yC, sobre una superficie
esférica de radio k, se pueden distinguir 6 ángulos:
A, B y C: son los ángulos diedros que definen los círculos máximos que se cortan en dichos
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puntos.

a/k, b/k, c/k son los ángulos centrales (con vértice en el centro de la esfera) barridos por
cada uno de los lados a, b y c.
Lasrazones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de
cada uno de estos ángulos son también el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante del ángulo plano de igual amplitud.
Esto quiere decir que son validas las fórmulas de la trigonometría plana para cada ángulo,
esto es:
Relaciones elementales:

cos2 a + sen2 a = 1,

tg2 a =

sen2 a
,
cos2 a

sen2 a =

tg2 a
,
1 + tg2 a

cos2 a =

1
1 + tg 2 a

Ángulo suma/diferencia:

sen(a ± b) = sena. cos b ± cos a.senb
cos(a ± b) = cos a. cos b m sena.senb
tga ± tgb
tg( a ± b) =
1 m tga.tgb
Ángulo doble:

sen2 A = 2.senA. cos A,

cos 2 A = cos A − sen A,
2

2

2.tg2 A
tg2 A =
1 − tg 2 A

Ángulo mitad:

cos2

A 1 + cos A
=
,
2
2

sen2

A 1 − cos A
=
,
2
2

tg 2

A 1 − cos A
=
2 1 + cos A

Factorización de...