Formulari Matrius

Suma matricial: A + B = B + A Producte per un escalar: αA = Aα ; α(A + B) = αA + αB ; (α + β)A = αA + βA ; α(βA) = αβA = β(αA) Producte matricial: (AB)C = A(BC) ; A(B + C) = AB + AC ; AI = IA = A ;AB ≠ BA ; A(αB) = (Aα)B = αAB Divisors de zero: sigui A ≠ O i B ≠ O si AB = O aleshores es diu que A són els divisors de zero de B i que B ho són de A. Commutador: [A,B] = AB – BA és el commutador, sidóna zero es diu que A i B commuten (AB = BA). Anticommutador: {A,B} = AB + BA és l’ anticommutador, si dóna zero es diu que A i B anticommuten (AB = -BA). p Potències d’una matriu (nxn): Ap = Ap-1 A; A0 = I ; A2 = A idempotent; A = A periòdica 2 p d’ordre p ; A = I involutiva ; A = O nilpotent. Transposició: (AT )T = A ; (A + B)T = AT + BT ; (αA)T = αAT ; (AB)T = BTAT ≠ AT BT ; (AP)T = (AT)P ;AT = A simètrica ; AT = - A antisimètrica. Conjugació: (A* )* = A ; (A + B)* = A* + B* ; (αA)* = α* A* ; (AB)* = A* B* ; A* = A real ; A* = -A imaginària pura . Conjugació-tansposició: A+ = (AT)* = (A*)T ; (A+ )+ = A ; (A + B)+ = A+ + B+ ; (αA)+ = α* A+ ; (AB)+ = B+ A+ ; A+ = A hermítica ; A+ = - A antihermítica. Traça: Tr(A) = Σai i ; Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) ; Tr(AB) = Tr(BA) ; Tr(ABC) =Tr(BCA) = Tr(CAB) ≠ Tr(BAC) = Tr(ACB) = Tr(CBA) ; Tr(AT) = Tr(A) ; Tr(A* ) = (Tr(A))* ; Tr(A+ ) = (Tr(A))* . Inversa d’una matriu (nxn): AA-1 = A-1 A ; (A-1 )-1 = A ; (αA)-1 = α-1 A-1 ; (AB)-1 = B-1 A-1 ;(AT)1 = (A-1 )T ; (A* )-1 = (A-1 )* ; (A+ )-1 = (A-1 )+ ; A-1 = |A| -1 adj(AT). Inversa d’una matriu (mxn): si ∃R tal que AR = Im aleshores R = A+ (AA+ )-1 i és la inversa per la dreta de A ; si ∃L talque LA = In aleshores L = (A+ A)-1 A+ i és la inversa per l’esquerra de A ; AT = A-1 ortogonal ; A+ = A-1 unitària. Determinant: |αA| = αn|A| ; |AB| =|A||B| ; |AT| =|A| ; |A*|= (|A|)* ; |A+ |= (|A|)*; |AP|= (|A|)P. D’altres tipus de matrius: ATA = AAT normals ; A = CBC –1 aleshores A i B són semblants ; A = CBC T aleshores A i B són congruents . Sistemes d’equacions: Ax = b SCD: solució exacta...