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DEFORMACIÓN EN VIGAS
6-2. MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN
La Vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente exagerada en la figura 6-1. En esta sección se deduce la ecuación de dicha curva, y cómo calcular el desplazamiento vertical odeflexión y de cualquier punto en función de su abscisa x.
Tomemos el centro izquierdo como origen en el eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin deformar, y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada. En consecuencia, la curvaelástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, tan θ= dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual a θ. Por consiguiente,

Y

Considerando la variación de θ en una longitud diferencial ds, producida por la flexión de la viga, es evidente que

siendo ρ el radio de curvatura en la longitud del arco ds. Como la curva elástica escasi recta, ds es prácticamente igual a ds. En estas condiciones, de las ecuaciones (b) y (c) se obtiene:

Al deducir la fórmula de flexión, en la sección 5-2, se obtuvo la relación

Y, por tanto, igualando los valores 1/ρ de las ecuaciones (d) y (5-1) Resulta:

Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexión, es normalmenteconstante a lo largo de la viga.
Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente, y dx por ds, no tienen influencia apreciable en la exactitud de la expresión (6-1) y, en efecto, sustituyendo 1/ρ por su valor exacto, junto con la ecuación (5-1), se tendría

Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeño, su cuadrado es despreciable frente a la unidad, por lo que se puede escribir

Que coincide conla ecuación (6-1).
Integrando la ecuación (6-1), suponiendo EI constante, resulta


Que es la ecuación de la pendiente, y que permite determinar el valor de la misma, o dy/dx en cualquier punto. Conviene observar que en esta ecuación, M no es un valor del momento, sino la ecuación del momento flexionante en función de x, C1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo.Integrando de nuevo la ecuación (6-2),

Que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el valor de la ordenada y en cualquier valor de x. C2 es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sujeción de la viga.
Si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de momentos también tendrá la variación correspondiente. Esto requerirá unaecuación de momentos entre cada 2 puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas repetidas), lo que daría lugar a 2 integraciones para cada tramo también. La determinación de estas constantes se hace muy laboriosa y se está expuesto a errores. Afortunadamente, estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una únicaecuación de momentos válida para toda la viga, pese a las discontinuidades de la carga.

Consideremos, por ejemplo, la viga de la figura 6-2. Aplicando la definición M=(∑M)izq, se deduce que las ecuaciones de los momentos entre cada 2 puntos de discontinuidad de cargas son:

Observese que la ecuación para el tramo CD también es válida en los otros dos, AB y BC, si los términos (x-2) y (x-3)2 no setienen en cuenta para valores de x menores que 2 y 3, respectivamente. Osea, los términos (x-2) y (x-3)2 no tienen existencia para valores de x que hagan negativo al paréntesis.

Consideremos la viga de la figura 6-3a, en la cual la carga distribuida se extiende solamente en el segmento BC. Se puede crear, sin embargo, una continuidad suponiendo que la carga distribuida se extiende desde B...